弹性力学平面问题的有限元法

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1、第二章平面问题的有限元法实际工程问题，在进行适当简化后，可看成平面问题。平面问题分平面应力问题和平面应变问题。平面问题比较简单，容易理解。因此，本章以平面问题为研究对象，阐明有限元法的基本概念、理论和求解的一般步骤。第一节两种平面问题任何一个实际结构或构件都是空间物体，外力也都是空间力系。因此，严格地说，任何实际问题都是空间问题，应该考虑所有的应力、应变和位移分量。但是，如果所研究的结构或构件具有特殊的几何形状，承受某种特殊的外力和几何约束，就可以对其进行简化，如简化为平面问题。在平面问题中，忽略一些应力或应变分量，其余的则只是坐标x、y的函数。这样，可以使分析计算工作量大

2、为减少。一、平面应力问题属于平面应力问题的弹性体，其几何形状是等厚度薄板，受到平行于板面且沿板厚t均匀分布的外力作用，前、后板面为自由表面。研究这种薄板时，坐标面xoy总是取在平分板厚的中面内，z轴垂直于板面，如图2-1a所示。（a）(b)图2-1由于板面是自由表面，故在z=±t/2的前、后表面处，有。又由于板很薄，外力不沿厚度t变化，因此可认为板内所有各点处都有。在板内垂直于x和y轴的平面上，只剩下平行于xoy平面的三个应力分量，，板内的点处于图2-1b所示的平面应力状态。而且，这三个应力分量沿板厚t不变，即与点的z坐标无关，只是坐标x、y的函数。平面应力问题的应力列阵简

3、化为：（2-1）在式（1-9）中，由可知：，但它不是独立的，取决于。因此，在平面应力问题中所需要考虑的应变分量只有，它的应变列阵简化为：（2-2）从式（1-9）中的第一、二、四式，可解得用应变分量表达应力分量的物理方程为：（2-3）式中，平面应力问题的弹性矩阵[D]为：（2-4）几何方程（1-8）简化为：（2-5）在工程实际中，许多机械零件都可作为平面应力问题处理，例如，发动机连杆、直齿圆柱齿轮、平面凸轮等等。二、平面应变问题设想有无限长的截面柱体，受到平行于横截面且不沿轴线变化的外力作用，如图2-2a所示。显然，任一横截面的情况都相同，都是一个对称面，所以柱内的应力、应变

4、、位移分量都不沿z轴变化，只是x、y的函数；而且不存在垂直于对称面的位移，w=0，每个横截面内只有沿x和y向的位移分量u、v存在，因而这种问题称为平面位移问题。（a）（b）图2-2根据上述位移的特点，由几何方程（1-8）可知：。因而在6个应变分量中，只剩下平行于xoy平面的3个应变分量，故称为平面应变问题。显然，平面应变问题的几何方程仍可简化为式（2-5）。在物理方程（1-9）中，由，可知由，可知，但不是独立的。柱体内任一点的应力状态如图2-2b所示，已不是平面应力状态了。但仍然只需考虑平行于xoy平面的三个应力分量和三个应变分量。物理方程的展开式可化简为：（2-6）其中，

5、平面应变问题的弹性矩阵为：比较式（2-4）和式（2-7）可见，只要把平面应力问题弹性矩阵中的E换成，把换成，就可得出平面应变问题的弹性矩阵。机械工程中的长滚柱、某些轴类零件、长花键轴，以及承受均布内压或外压的长厚壁筒等，都可简化为平面应变问题来计算。实践证明，虽然它们不是无限长，但对于离开两端稍远的中间部分，按平面应变问题进行计算，所得结果与实际情况很接近，因而是可行的。平面应力和平面应变问题虽各有特点，但有许多共同之处，即它们的应力、应变及位移分量都只是坐标x、y的函数，与z坐标无关，几何方程完全相同，物理方程的形式也相同。因此，它们的解法相同，故统称为平面问题。第二节有

6、限元法的概念和平面问题的离散化一、有限元法的概念在弹性力学的解析方法中，把弹性体划分成无限多个微单元体的组合体来研究。通过对其中任一微单元体的平衡、几何及物理关系的分析，建立起对弹性体内任一点都适用的一系列基本微分方程，然后，设法找出满足所有基本方程和边界条件的解析解。这些解是点的坐标的表达式，可给出弹性体内任一点处所要求的未知量。从实质上来说，这种分析方法可以称为“无限小单元法”。然而，在大多数工程实际问题中，由于结构几何形状不规则和载荷情况的复杂性，要求得完全满足边界条件的解析解，在数学上非常困难。与弹性力学解析法不同，有限元法是把连续的弹性体划分成有限多个彼此只在有限

7、个点相联接的、有限大小的单元组合体来研究的，也就是用一个离散结构来代替原结构，作为真实结构的近似力学模型，以后的数值计算就在这个离散结构上进行。把实际连续体划分为离散结构的过程，叫做有限单元离散化。有限大小的单元，称为有限单元，常简称为单元。各单元之间相连接的点，称为节点。在平面问题中，把节点看成为光滑铰链。目前，最广泛应用的有限元法实际上是有限元位移法。它取节点位移作为基本未知量，把原来具有无限多自由度的连续弹性体简化为有限个单元组成的离散结构，从而避免了解微分方程的麻烦。从单元分析入手，找出单元内的位移、应变、