最经济的水管铺设方案

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1、最经济的水管铺设方案一、问题的提出七年级时，我们曾学习过《轴对称》这一章。在学习过程中，常常会碰到这样一类作图题：如图1，在河岸l同侧有两个村庄A，B，A到河岸的距离为4km,B到河岸的距离为2km,A,B两村距离为3km,在l上找一点M建抽水站向A，B运水，使水管的铺设长度最短。当时，标准答案是：如图1，做A关于l的对称点A´,连接A´B交l于M，连接AM,则AM，BM即为所求。ABl图1图图BAA´M但是，我在做题过程中却渐渐萌发了一种新想法。如图2，直接连接AB，作BM´l，垂足为M´，这样水管长度是否会更短呢？由于当时的知识有限，如

2、图3，我只能推出当∠ABM=90°时，我的解法比标准解法长度短（ABn。图3l图图DA´CMM´BA我的解法（以下称方案一）长度：AB+BM´，即a+n。标准解法（以下称方案二）长度：AM+BM。因为A´为A的对称点，所以AM=A´M,AC=A´C。所以AM+BM=A´M+BM=A´B。作BD⊥AC,则四边形BMCD为矩形，BM=DC。所以AD=A

3、C-DC=m-n,BD=AB2-AD2=a²-(m-n)²。因为A´D=DC+CA´=n+m,所以A´B=A´D2+BD2=(m+n)2+a²-(m-n)2=a²+4mn。一、模型的求解与分析接下来看方案一和方案二哪个更短：因为（a+n）²-（a²+4mn）²=2ma+n²-4mn=n2+2m(a-2n)，又因为n>0,m>0,所以n2>0,2m>0。(1)当a-2n>0,即a>2n时，（a+n）²-（a²+4mn）²>0,又因为（a+n）²-（a²+4mn）²=（a+n+a²+4mn）(a+n-a²+4mn),a+n+a²+4mn>0。所

4、以a+n-a²+4mn>0,即方案一比方案二长。(2)当a-2n=0,即a=2n时,（a+n）²-（a²+4mn）²=0,同理可得a+n-a²+4mn=0，即方案一和方案二长度一样。(3)当a-2n<0，即a<2n时，（a+n）²-（a²+4mn）²<0,同理可得a+n-a²+4mn<0,即方案一比方案二短。二、模型的应用以文章开头的问题为例，当m=4km,n=2km,a=3km时，a<2n,所以a+n-a²+4mn<0，应该按方案一修水管。三、结论这样，整个模型的建立和分析就完成了。在此类工程的施工过程中，人们只需丈量出具体数值，代入模型

5、，便可以轻松得出最经济方案。这样，不但可以减少管材的用量，还可以节省人力，可谓是一举两得。当然，这只是纯数学推算，在实际生活运用中，还应当结合具体的地理情况，以此模型作为参考，合理取舍，选择更合适的方案。