2007年广州市天河区高二数学竞赛试题

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1、2007年天河区高二数学竞赛试题一、选择题：（本大题共4小题，每小题6分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．右图是年中央电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．，B．，C．，D．，2把数列依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，在第100个括号内各数之和为（）（A）1992（B）1990（C）1873（D）189

2、13.动点P为椭圆上异于椭圆顶点的一点，F1、F2为椭圆的两个焦点，动圆C与线段F1P、F1F2的延长线及线段PF2相切，则圆心C的轨迹为除去坐标轴上的点的（）（A）一条直线（B）双曲线的右支（C）抛物线（D）椭圆4．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（）①③④②A．①④B．②③C．②④D．①②二、填空题：（本大题共6小题，每小题6分，共36分。）5．某单位要在甲、乙、丙、丁人中安排人分别担任周六、周日的值班任务（每人被安排是等可能的，每天只安排一人）．其中甲、乙两人都被安排的概率是___________.6、已知向

3、量______.ABCDPA1B1C1D17.已知，则的值是_____________________.8.已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，∠BAD=60°，长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动.则MN中点P的轨迹与直平行六面体的表面所围成的较小的几何体的体积为___________.9.已知,关于的方程,则这个方程有相异实根的个数情况是___.10．已知点P为椭圆在第一象限部分上的点，则的最大值等于三、解答题：（本大题共5小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）11.（本题满分18分）如图，已知三

4、棱锥P—ABC，∠ACB=90°，CB=4，AB=20，D为AB中点，M为PB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC．（I）求证：平面；（II）求证：平面PAC⊥平面ABC；（Ⅲ）若M为PB的中点，求三棱锥M—BCD的体积．12.（本小题满分18分）已知函数的定义域为，值域为[－5，1]，求常数a、b的值．月份用水量(m3)水费(元)199215193223313.（本小题满分18分）某市对居民生活用水的收费方法是：水费=基本用水费+超额用水费+定额水损耗费.若每月用水量不超过限量am3时，只收取基本用水费8元和每户每月的定额水损耗费c元；若用水量超过am3时，除了要收取同上的基本

5、用水费和定额水损耗费外，超过部分每m3还要收取b元的超额用水费.已知每户每月的定额水损耗费不超过5元.右表是该市一个家庭在第一季度的用水量和支付费用情况。根据上表中的数据，求出a，b，c的值.14．（本小题满分18分）设的极小值为,其导函数的图像经过点,如图所示,（1）求的解析式；（2）若对都有恒成立，求实数的取值范围．15、（本小题满分18分）如图，将圆分成个扇形区域，用3种不同颜色给每一个扇形区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为。求（Ⅰ）；（Ⅱ）与的关系式；（Ⅲ）数列的通项公式，并证明。2007年天河区高二数学竞赛答题卷1.C2.A3．A4.A4．提示：如图画

6、出圆M，切点分别为E、D、G，由切线长相等定理知F1G=F1E，PD=PE，F2D=F2G，根据椭圆的定义知PF1+PF2=2a，∴PF1+PF2=F1E+DF2(PD=PE)=F1G+F2D(F1G=F1E)=F1G+F2G=2a，∴2F2G=2a－2c，F2G=a－c，即点G与点A重合，∴点M在x轴上的射影是长轴端点A，M点的轨迹是垂直于x轴的一条直线（除去A点）5．解：安排情况如下：甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙共有种安排方法．甲、乙两人都被安排的情况包括：“甲乙”，“乙甲”两种，甲、乙两人都被安排（记为事件）的概率：6．12007.【答

7、案】.提示：弦切变换,构造齐次式解题..8．.9.【答案】0或2或3或4.提示：令，利用数形结合知：当时，方程无实数根；当时，方程有2个实数根；当时，方程有3个实数根；当时，方程有4个实数根。10．211.（1）【证明】∵△PAB中，D为AB中点，M为PB中点，∴∵DM平面，PA平面，∴平面……4分（2）【证明】∵D是AB的中点，△PDB是正三角形，AB=20，∴……5分∴△PAB是直角三角形，且AP⊥PB，……6分又∵AP⊥PC，∴AP⊥平面PBC．……