2014年高考数学回归基础知识:三、函数的基本性质

2014年高考数学回归基础知识:三、函数的基本性质

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1、亲爱的同学:经过一番刻苦学习,大家一定跃跃欲试地展示了一下自己的身手吧!那今天就来小试牛刀吧!注意哦:在答卷的过程中一要认真仔细哦!不交头接耳,不东张西望!不紧张!养成良好的答题习惯也要取得好成绩的关键!祝取得好成绩!一次比一次有进步!三、函数的基本性质(一)函数的单调性1、单调性一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1

2、于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间。拓展与提示:(1)定义中的x1,x2具有任意性,不能用特殊值代替。(2)若f(x)在区间D1,D2上都是增(减)函数,但f(x)在D1∪D2上不一定是增(减)函数。(3)由于定义域都是充要性命题,因此由f(x)是增(减)函数,且,这说

3、明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”。2、函数单调性的判断方法(1)定义法。用定义法判断函数单调性的步骤为第一步:取值。设x1、x2是该区间内的任意两个值,且x1

4、:[来源:学科网]①函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反;②当函数f(x)恒为正或恒为负时,函数与y=f(x)的单调性相反;③在公共区间内,增函数+增函数,其和为增函数,增函数-减函数,其差为增函数等。(3)图象法:按照作图的方法,准确作出函数的图象,观察判断函数的单调性。(4)求导法:若当x∈(a,b)时,f′(x)>0,则f(x)在(a,b)上递增;若当x∈(a,b)时,f′(x)<0,则f(x)在(a,b)上递减。拓展与提示:定义有如下等价形式设x1,x2∈[a,b],那么①上是增函数,上是

5、减函数;②在[a,b]上是增函数,上是减函数。例讨论函数在(-2,+∞)上的单调性。解析设-20,即时,上式<0,即f(x2)0,即f(x2)>f(x1)。∴当时,在(-2,+∞)上为减函数当时,在(-2,+∞)上为增函数3、复合函数的单调性对于复合函数y=f[g(x)],若t=g(x)在区间(a,b)上是单调函数,则y=f(t)在区间(g(a),g(b))或(g(b),g(a)

6、)上是单调函数;若t=g(x)与y=f(t)单调性相同(同时为增或减),则y=f[g(x)]为增函数,若t=g(x)与g=f(x)单调性相反,则y=f[g(x)]为减函数,简单地说成“同增异减”。y=f(t)增减增减t=g(x)增减减增Y=f[g(x)]增增减减(二)函数的最大(小)值1、定义一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值。同样地:如果存在实数M满足:(1)对于

7、任意x∈I,都有f(x)≥M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么我们称M是函数的最小值。拓展与提示:(1)函数的最大(小)值是函数的图象的最高点(最低点)对应的纵坐标。(2)一个连续不断的函数在闭区间[a,b]上一定有最大值和最小值。(3)求函数最值的常见方法为①构造二次函数;②单调性法;③导数法。2、二次函数在闭区间上的最值二次函数f(x)=ax2+bx+c,当a>0时,在闭区间[m,n]上的最值可分如下讨论:[来源:学科网]①若时,则最大值为f(n),最小值为f(m);②若时,则最大值为f(m)

8、,最小值为f(n);[来源:学科网ZXXK]③若时,则最大值为f(m)或f(n),最小值为.例已知,若f(x)=ax2-2x+1,在[1,3]上最大值为M(a),最小值为N(a),令g(a)=M(a)-N(a),求g(a)的函数表达式。解析.∵,∴.又∵∈[1,3].∴当,f(x)min=N(a)=当,即时,f(x)max=M(a)=f(3)=9a-5.当时,f(x)max=M(a)=f(1)=a-

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