浙江农林大学静电场中的导体和电介质 有介质时的高斯定理习题

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1、四解答题(a)1、如图所示，一导体球半径为,外罩一半径为的同心薄导体球壳,外球壳所带总电荷为,而内球的电势为，求导体球和球壳之间的电势差（填写A、B、C或D，从下面的选项中选取）。A、B、C、D、答案：A解设导体球所带电荷为。因静电平衡，电荷分布在导体球的外表面。这样一来，就可以把体系看成是两个半径分别为和，电荷分别为和的带电球壳。由电势叠加原理，导体球的电势为解出因此，导体球和球壳之间的电势差为2、如图所示，在一半径为R1=6.0cm的金属球A外面套有一个同心的金属球壳B。已知球壳内，外半径分别为R2=8.0cm，R3=10.0cm。设A球带有总电量，球壳B带有总电量。

2、（1）求球壳B内表面上带有的电量外表面上带有的电量以及球A的电势球壳B的电势；A、B、C、D、答案：B，A，C，D（2）将球壳B接地然后断开，再把球A接地。求球A带有的电量球壳B内表面上带有的电量外表面上带有的电量以及球A的电势和球壳B的电势。A、B、C、D、E、F、0答案：B，C，D,F,E解（1）由高斯定理可知，B球壳内表面带的电量等于金属球A带的电量的负值，即因电荷守恒，则B球壳外表面所带电量为因此，球A的电势为球壳B的电势为（2）球壳B接地后电势，因此。B接地断开后总电量变为。然后球A接地，则。设此时球A带电量为，有由此解得球A的电量这时球壳B内、外表面的电量为球

3、壳B的电势为A3、一接地的充分大的导体板的一侧有一半无限长的均匀带电直线（电荷线密度为λ），垂直于导体板放置，如图所示，带电直线的一端A与板距离OA＝d。求板面上点处的面电荷密度。A、B、C、D、答案：D解导体板可视为无限大接地板，感应电荷只分布在板的点一侧表面上。设点处的感应电荷面密度为。在导体板内与点紧邻处由感应电荷产生的场强为负号代表场强沿轴反方向。而通过对带电直线上电荷元的场强积分，可得板内与点紧邻处由带电直线产生的场强为导体板内与点紧邻处的总场强等于和的叠加，而静电平衡导体内场强处处为零，即因此，板面上点处的面电荷密度为4、如图所示，电荷面密度为的带电无限大板旁

4、边有一带电导体，今测得导体表面靠近点处的电荷面密度为。求：（1）点处的场强；（2）导体表面靠近点处的电荷元所受的电场力。A、B、C、D、答案：A,C解（1）导体和带电板共同达到静电平衡。由静电平衡导体表面的电荷密度和导体表面外附近处场强的关系，可得点处的场强为（2）电荷元所受电场力为其中是指在导体表面点附近挖去面元后，导体上剩下的电荷以及带电板上的电荷在面元所在处产生的场强，我们把挖去面元后导体上剩下的电荷以及带电板上的电荷称为其它电荷。这样一来，导体内与点紧邻处的总场强是由电荷元和其它电荷共同产生的，在静电平时该点总场强为零。考虑面元邻近处的场强，可将看成无限大带电平板

5、，因此电荷元两侧的场强的大小都为，方向沿离开的方向（设）。由于总场强为零，所以其它电荷在导体内与点紧邻处的场强的大小等于，方向与电荷元的场强的方向相反，垂直于导体表面向外。为使全部电荷分布在导体外点处的场强等于，则要求其它电荷在导体外点处的场强与在导体内与点紧邻处的场强大小、方向都相同。由于在没有电荷的空间电场线是连续的，所以其它电荷在面元所在处产生的场强为因此，电荷元所受的电场力为方向垂直于导体表面向外。备注：求解此类习题常出现的错误是5、如图所示，一个点电荷q放在一无限大接地金属平板上方处，试根据电场叠加原理求出板面上距q为R处的感生面电荷密度。解A、B、C、D、答案

6、：A因无限大金属板接地，所以只考虑金属板上表面的感生电荷就可以了。设点电荷，则感生面电荷密度。在图（a）中导体板内的点紧靠导体外的点，并和点成镜面对称。代表点电荷在点的场强，大小为，代表金属板表面的感生电荷在点的场强。由静电平衡条件，点总场强为零，所以和大小相等，方向相反。在图（b）中，和分别代表点电荷和金属板表面的感生电荷在点的场强。因点和点紧邻，则。由于点和点镜面对称，所以和也镜面对称。因此，点电荷和金属板表面的感生电荷在点的总场强为负号代表方向竖直向下。由静电平衡导体表面的电荷密度和导体表面外附近处场强的关系，可得所以，板面上距q为R处的感生面电荷密度为6、径为R1

7、的导体球，带电荷q，在它外面同心地罩一金属球壳，其内、外半径分别为R2=2R1，R3=3R1，今在距球心d=4R1处放一电荷为Q的点电荷，并将球壳接地(如图所示)，试求球壳上感生的总电荷．A、B、C、D、答案：A解：应用高斯定理可得导体球与球壳间的场强为(R1＜r＜R2)设大地电势为零，则导体球心O点电势为：根据导体静电平衡条件和应用高斯定理可知，球壳内表面上感生电荷应为－q．设球壳外表面上感生电荷为Q'．以无穷远处为电势零点，根据电势叠加原理，导体球心O处电势应为：假设大地与无穷远处等电势，则上述二种方式所得的O点电势应相等