高中理科数学空间向量方法总结(家教专用)

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1、平面法向量与立体几何引言：平面的法向量在课本上有定义，考试大纲中有“理解”要求，但在课本和多数的教辅材料中都没有提及它的应用，其实平面的法向量是中学数学中的一颗明珠，是解立体几何题的锐利武器。本文介绍平面法向量的二种求法,并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。开发平面法向量的解题功能，可以解决不少立体几何中有关角和距离的难题，使高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确，那么每年高考中那道12分的立体几何题将会变得更加轻松。2、平面法向量的求法方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量[或，或]，

2、在平面内任找两个不共线的向量。由，得且，由此得到关于的方程组，解此方程组即可得到。二、平面法向量的应用1、求空间角(1)、求线面角：如图4-1，设是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，，则AB与平面所成的角为：例3、在例2中，求直线与平面所成的角。解析：由例2知，，，，即(2)、求面面角:设向量，分别是平面、的法向量，则二面角的平面角为：（图5-1）;(图5-2)13图4-1αBACABα图4-2Cβα图5-1α图5-2β两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图5-1中，的方向对平面而言向外，的方向对平面而言向内；在图5-2中

3、，的方向对平面而言向内，的方向对平面而言向内。我们只要用两个向量的向量积（简称“外积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角的平面角。例4、在例2中，求二面角的大小。解：由例2知，平面的法向量是，平面的法向量是，图6nabAB设二面角的大小为，则，得。1、求空间距离（1）、异面直线之间距离:方法指导：如图6,①作直线a、b的方向向量、，ABOn图7求a、b的法向量，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；②在直线a、b上各取一点A、B，作向量；③求向量在上的射影d，则异面直线a、b间的距离为,其中（2）、

4、点到平面的距离:方法指导：如图7,若点B为平面α外一点，点A为平面α内任一点，平面的法向量为，则点P13到平面α的距离公式为：例5、在例2中，求点到平面的距离。解析：由例2的解答知，平面的单位法向量，又，设点到平面的距离为，则AaBα图8。所以，点到平面的距离为。（3）、直线与平面间的距离:方法指导：如图8,直线与平面之间的距离：图9αβAB，其中。是平面的法向量（4）、平面与平面间的距离:方法指导：如图9,两平行平面之间的距离：图10αa，其中。是平面、的法向量。1、证明图11αa（1）、证明线面垂直：在图10中,向是平面的法向量，是直线a的方向向量，证明平面

5、的法向量与直线所在向量共线（）。（2）、证明线面平行：在图11中,向是平面的法向量，是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（）。图12βα（3）、证明面面垂直：在图12中，是平面的法向量，是平面的法向量，证明两平面的法向量垂直（）（4）、证明面面平行：在图13中,向是平面的法向量，13是平面的法向量，证明两平面的法向量共线（）。图13αβ三、利用法向量解2008年高考立体几何试题例6、（湖南理第17题）如图14所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.（Ⅰ）证明：平面P

6、BE⊥平面PAB;（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.图14解：如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2）,（Ⅰ）因为平面PAB的一个法向量是，所以共线.从而BE⊥平面PAB.又因为平面PBE，故平面PBE⊥平面PAB.(Ⅱ)易知设是平面PBE的一个法向量，则由得：所以设是平面PAD的一个法向量，则由得：所以故可取于是，13故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是点评：本题采用常规方法（即综合法）求这个二面角的平面角比较困难，而用向量法只要计算不出问题，一般都

7、能解决问题ABCDEA1B1C1D1yxz图14例7、（全国卷Ⅱ理科第19题)如图14，正四棱柱中，，点在上且．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的大小．解：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系．依题设，．，．（Ⅰ）因为，，故，．又，所以平面．（Ⅱ）设向量是平面的法向量，则，．故，．令，则，，．等于二面角的平面角，．所以二面角的大小为．点评：本题主要考查位置关系的证明及二面角的找法和计算，同时也考查学生的空间想象能力和推理能力。例9（安徽卷理第18题）如图16，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，,,,为的中点，为的中点（Ⅰ）证明：直线；（Ⅱ）求异

8、面直线AB与MD所成角的