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《一轮复习配套义：第8篇第5讲椭圆》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第5讲 椭 圆[最新考纲]1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．2．了解椭圆的简单应用．3．理解数形结合的思想.知识梳理1．椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于
2、F1F2
3、)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图 形性质范 围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1
4、(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(0，－b)，B2(0，b)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距
5、F1F2
6、＝2c离心率e＝∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2辨析感悟1．对椭圆定义的认识(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×)(2)动点P到两定点A(0，－2)，B(0,2)的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆．(×)2．对椭圆的几何性质的理解(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆
7、．(×)(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．(√)(5)(教材习题改编)椭圆＋＝1的离心率为.(√)3．椭圆的方程(6)若椭圆＋＝1的焦点坐标是F1(－，0)，F2(，0)，则k＝2(√)(7)(教材改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是＋＝1(×)[感悟·提升]1．一点提醒 椭圆定义中的常数必须大于
8、F1F2
9、，如(1)、(2)．2．两个防范 一是注意椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，离心率越大，椭圆就越扁；离心率越小，椭圆就越圆，如(3)；二是注意
10、椭圆方程的焦点位置是在x轴上还是y轴上，当a＞b＞0时，方程＋＝1的焦点在x轴上；当b＞a＞0时，方程＋＝1的焦点在y轴上，如(7).考点一 椭圆定义及标准方程【例1】(1)设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，
11、OM
12、＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为( )． A．4B．3C．2D．5(2)求过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．(1)解析 由题意知，在△PF1F2中，
13、OM
14、＝
15、PF2
16、＝3，∴
17、PF2
18、＝6，∴
19、PF1
20、＝2a－
21、
22、PF2
23、＝10－6＝4.答案 A(2)解 法一 椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.由椭圆的定义知，2a＝＋，解得a＝2.由c2＝a2－b2可得b2＝4.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.法二 因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①又点(，－)在所求椭圆上，所以＋＝1，即＋＝1.②由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.规律
24、方法(1)一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决．(2)求椭圆的标准方程有两种方法①定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．【训练1】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，
25、且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为______．解析设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由e＝知＝，故＝.由于△ABF2的周长为
26、AB
27、＋
28、BF2
29、＋
30、AF2
31、＝(
32、AF1
33、＋
34、AF2
35、)＋(
36、BF1
37、＋
38、BF2
39、)＝4a＝16，故a＝4.∴b2＝8.∴椭圆C的方程为＋＝1.答案 ＋＝1考点二 椭圆的几何性质【例2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．(1)解 法一 设椭圆方程为
40、＋＝1(a＞b＞0)，
41、PF1
42、＝m，
43、PF2
44、＝n，则m＋n＝2a.在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncos60°＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn≥4a2－3·2＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)．∴≥，即e≥.又0＜e＜1，∴e的取值范围是.法二 如图所示，设O是椭圆的中心，A是椭圆短轴上的一个顶点，由于∠F1PF2＝60°，则只需满足60°≤∠F1AF2即可，又△F1AF2是等腰三角形，且
45、AF1
46、＝
47、AF2
48、，所以0°＜∠F1F
