第七章解析函数在平面场的应用

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1、*第七章解析函数在平面场的应用（Analysisfunctionapplyingintheplanefield）第一讲授课题目：§7.1复势的概念§7.2复势的应用§7.3用共形映射方法研究平面场教学内容：用复变函数表示平面向量场、复势、流体力学中的复势、热流场中的复势、静电场中的复势。用共形映射方法研究平面场学时安排：2学时教学目标：1、正确理解复势的概念2、正确理解复数表示平面向量场3、了解复势在流体力学、热流场、静电场中的应用4、了解共形映射方法研究平面场教学重点：1、复势的概念2、复数表示平面向量场教学难点：共形映射方法研究平面场教学模方式：讲授法、图形类比法、演绎法作业布置：习题

2、7.1、7.2、7.3、7.4、7.5板书设计：一、复势的概念二、复势的应用三、用共形映射方法研究平面场主要参考资料：1、《积分变换》，南京工学院数学教研室，高等教育出版社，1987；72、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版2003；3、《复变函数与积分变换》，贺才兴编著，辽宁大学出版社，2000；课后记：1、复势在流体力学、热流场、静电场中的应用，不能正确掌握；2、共形映射方法研究平面场，不能正确掌握；教学过程：在历史上，复变函数的发生和发展是和应用相联系的，例如，达朗贝尔及欧拉由流体力学导出了著名的柯西-黎曼条件；茹科夫斯基应用复变函数证明了关于飞机机翼升力的公式，

3、并且这一重要的结果反过来推动了复变函数的研究；工程中不规则几何体边界条件的研究，推动了保形变换的发展。复变函数的发展还和电磁学、热学、弹性力学、断裂力学等学科以及数学中的其他分支联系着。在这里，我们只讲述解析函数对平面场的应用，特别是对稳定平面流场和静电场的应用。§7.1复势的概念(TheConceptionofthecomplexpotential)物理中有许多不同的稳定平面场，都可以用解析函数来描述，这种平面场的物理现象，可以用相应的解析函数的性质来描述。如果平面平行向量场不随时间变化，我们称为平面定常向量场。我们假设，对平面上的任意点，可以用一个解析函数来表示7。例如：一个平面定常流

4、速场可以用复变函数表示为垂直于均匀带电的无限长直导线的所有平面上，电场的分布式相同的，可以表示为。现在考虑不可压缩流体的平面稳定流动，所谓不可压缩流体，是指密度不因压缩而改变的流体，平面流动是指在流动中，垂直于某一平面的每一垂线上所有各质点的速度相同，且与已知平面平行。稳定流动是指在流动中，各质点的速度只与各质点的位置有关。定义7.1曲线积分称为向量场通过曲线的流量。其中。如果，则存在函数，使那么称为向量场的流函数。定义7.2曲线积分称为向量场沿曲线的环量。如果，则存在函数，使那么称为向量场的势函数。7所以在无源无旋场中，流函数是势函数的共轭调和函数，因此可以做一解析函数，称此解析函数为向

5、量场的复势。§7.2复势的应用(Theapplicationofthecomplexpotential)例7.1试研究一平面流速场的复势为的速度、流函数和势函数。解：在整个复平面上解析，可以得到，说明场中任意点的流速方向为轴正向；流函数为，所以流线为势函数为，所以等势线为例7.2试研究以为复势的平面定常流速场。解：在任意处，，流函数是，所以流线为，势函数为，等势线为。以上两个例子是复势在流体力学中的应用。在热力学的热传导理论中，已经证明，介质的热量与温度梯度称正比，和流体力学中的势函数一样，我们也可以构造热流场的复势：7那么，称为温度函数（或势函数），称为等温线；称为热流函数，是热量流动所

6、沿的曲线。热流场可以用复变函数。在空间静电场中，我们也可以构造复势，其中，。称为力函数，称为静电场的复势，是一个解析函数。例7.3求表示的电场。解：等势线是，电力线方程为为。它们都是双曲线组。§7.3用共形映射方法研究平面场(TostudytheplanefieldinConformalmapping)在速度场、热流场和静电场等平面场中，常用共形映射的方法求得复势函数，方法是将已给的平面区域映照为典型区域。而这些典型区域各自对应着所考虑问题的类型。如速度场映射为上半平面或带形区域，静电场映射为圆形区域或带形区域等。例7.4设曲线由射线，中心在点、半径为上的半圆周以及射线所组成，不可压缩流体

7、（无源也无汇）在域内作无旋流动，又设无穷远点的速度为给定的，7，求所产生的流速场。解：求流速场的复势，就要把区域的边界映射为实轴，把区域映射为上半平面，可通过下述映射方法来完成。由于，，可以知道，所以令，可以知道故流线方程为。例7.5设在射线上的电势为，而在实轴上为零，求所产生的静电势。解：求静电场的复势，就是找函数，使已知区域共形映射为平面上的带形区域，而使射线、实轴分别与对应，所以为所求的复势，它是区域内的单值函数，