国家集训队1999论文集 陈宏

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1、数据结构的选择与算法效率——从IOI98试题PICTURE谈起数据结构的选择与算法效率——从IOI98试题PICTURE谈起福建师大附中陈宏【关键字】数据结构的选择线性结构树形结构【摘要】算法+数据结构=程序。设计算法与选择合适的数据结构是程序设计中相辅相成的两方面，缺一不可。数据结构的选择一直是程序设计中的重点、难点，正确地应用数据结构，往往能带来意想不到的效果。反之，如果忽视了数据结构的重要性，对某些问题有时就得不到满意的解答。通过对IOI98试题Picture的深入讨论，我们可以看到两种不同的数据结构在解题中的应用，以及由此得到的不同的

2、算法效率。本文以Picture问题为例，探讨数据结构的选择对算法效率的影响。【正文】引言算法通常是决定程序效率的关键，但一切算法最终都要在相应的数据结构上实现，许多算法的精髓就是在于选择了合适的数据结构作为基础。在程序设计中，不但要注重算法设计，也要正确地选择数据结构，这样往往能够事半功倍。在算法时间与空间效率的两方面，着重分析时间效率，即算法的时间复杂度，因为我们总是希望程序在较短的时间内给出我们所希望的输出。如果在空间上过于“吝啬”而使得时间上无法承受，对解题并无益处。本文对IOI98的试题Picture作一些分析，通过两种不同数据结构的

3、选择，将了解到数据结构对算法本身及算法效率的影响。Picture问题及算法设计一、Picture问题Picture问题是IOI98的一道试题，描述如下：墙上贴着一些海报、照片等矩形，所有的边都为垂直或水平。每个矩形可以被其它矩形部分或完全遮盖，所有矩形合并成区域的边界周长称为轮廓周长。例如图1的三个矩形轮廓周长为30：IOI’99中国集训队优秀论文选-35-数据结构的选择与算法效率——从IOI98试题PICTURE谈起图1要求编写程序计算轮廓周长。数据量限制：0≤矩形数目<5000；坐标数值为整数，范围是[-10000，10000]。一、算法

4、描述在算法的大体描述中，将不涉及到具体的数据结构，便于数据结构的进一步选择和比较分析。（一）、轮廓的定义在描述算法前，我们先明确一下“轮廓”的定义：1、轮廓由有限条线段组成，线段是矩形边或者矩形边的一部分。2、组成矩形边的线段不应被任何矩形遮盖。图2与图3分别是遮盖的两种情况。图2图3图4（AB被遮盖）（CD被遮盖）（二）、元线段本题的一大特征是分析矩形的边，而边的端点（即矩形的顶点）坐标为整数，且坐标取值范围已经限定在[-10000，10000]之间。这样，就可以把这个平面理解成为一个网格。由于给出的坐标是整数，所以矩形边一定在网格线上。在

5、网格中，对于一条线段我们最关心其绝对坐标。如图4，我们认为矩形边AB由线段L1、L2、L3组成。像L1、L2、L3这样连接相邻网格顶点的基本线段，称之为“元线段”，这样就把矩形边离散化了。显然，有限的元线段覆盖了所有的网格线，且元线段是组成矩形边乃至组成轮廓的基本单位。一条元线段要么完全属于轮廓，要么完全不属于轮廓。这种定义使我们对问题的研究具体到每一条元线段，这样的离散化处理有利于问题的进一步讨论。（三）、超元线段IOI’99中国集训队优秀论文选-35-数据结构的选择与算法效率——从IOI98试题PICTURE谈起元线段的引入，使问题更加具

6、体。但也应当看到，平面中共有20001*20000*2条元线段，研究的对象过多，而且计算量受到网格大小的影响，如果顶点坐标范围是[-1,000,000，1,000,000]，元线段数目将达到8*10^12，这是天文数字。因此有必要对“元线段”进行优化。受到元线段的启发，我们定义一种改进后的元线段——“超元线段”，它将由对平面的“切割”得到。具体做法是，根据每个矩形纵向边的横坐标纵向地对平面进行2*N次切割、根据矩形横向边的纵坐标横向地对矩形进行2*N次切割（N为矩形个数）。显然，经过切割后的平面被分成了(2*N+1)^2个区域，如图5所示：图

7、5图6其中像横向边AB、纵向边CD这样的线段就是“超元线段”。超元线段与元线段有着相似的性质，也是组成轮廓的基本单位。所不同的是，超元线段的数目较少，一般为4*N条左右，且超元线段数目不受网格大小的影响。基于超元线段的优点，算法最终将研究超元线段。(一)、离散化及算法框架算法的研究对象是超元线段，但这并不等于逐一枚举，那样耗时过大，而整体考虑又使得问题无从下手。有一种考虑方法是折中的，即既不研究每一条超元线段，也不同时研究所有的超元线段，而是再进一步优化问题的离散化，即将超元线段分组研究。如图6所示，夹在两条纵向分割边的超元线段自然地分为一组

8、，它们的共同点是长度相同，并且端点的横坐标相同。纵向线段也可以进行类似的离散化。这样的离散化处理后，使得问题规模降低，以此为基础，算法的框架可以基本确定为：1、对平