hf专题三、立体几何中的折叠与展开问题

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1、立体几何中的折叠、展开折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现。解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化。这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据。而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，一般地，涉及到多面体表面的问题，解题时不妨将它展开成平面图形试一试。一、折叠与展开中的垂直问题例1.如图在ΔABC中，AD⊥BC，ED=2AE，过E作FG∥BC，且将ΔAFG沿FG折起，使∠A'ED=60°，求证:A

2、'E⊥平面A'BC解析：弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。解：∵FG∥BC，AD⊥BC∴A'E⊥FG∴A'E⊥BC设A'E=a，则ED=2a由余弦定理得：A'D2=A'E2+ED2-2•A'E•EDcos60°=3a2∴ED2=A'D2+A'E2∴A'D⊥A'E∴A'E⊥平面A'BC例2.如图：D、E是是等腰直角三角形ABC中斜边BC的两个三等分点，沿AD和AE将△ABD和△ACE折起，使AB和AC重合，求证：平面ABD⊥平面ABE.ＥＤＢＡＥＤＣＢＡ解析：过D作DF⊥AB交AB于F，连结EF，计算DF、EF的长，

3、又DE为已知，三边长满足勾股定理，∴∠DFE＝；二、折叠与展开中的空间角问题例3.矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A—BD-—C的余弦值。　　解析：这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后“变”与“不变”。结果在平面图形中过A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，则折叠后OA、OE与BD的垂直关系不变。但OA与OE此时变成相交两线段并确定一平面，此平面必与棱垂直。由特征Ⅱ可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的

4、角，即为所求二面角的平面角。另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在BC上,所以E点就是A′。答案：。6例4.如图，ABCDEF为正六边形，将此正六边形沿对角线AD折叠.(1)求证：AD⊥EC，且与二面角F—AD—C的大小无关；(2)FC与FE所成的角为30°时，求二面角F—AD—C的余弦值.解析：(1)正六边形ABCDEF，在折叠前有AD⊥EC，设AD与EC交于M，折叠后即有AD⊥ME，AD⊥MC.则AD⊥平面EMC，无论∠EMC的大小如何，总有AD⊥EC.(2)利用余弦定理，有cos∠EMC＝三、折叠与展开

5、中的距离与体积问题例5.如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，以AC为轴翻折半平面，使二平面角B—AC—D为120°，求：翻折后，D到平面ABC的距离；解析：研究翻折问题，通常要画出翻折前的平面图形和翻折后的空间图形，对应点的字母要相同.解：分别过B、D作AC的垂线，垂足是E、F，过F作FB′∥BE，过B作BB′∥AC，交点B′，则四边形EFB′B是矩形.∵AC⊥DF，AC⊥B′F，∴AC⊥平面B′FD，即∠DF′B就是二面角B—AC—D的平面角，∠DFB′＝120°.过D作DO⊥B′F，垂足为O.∵DO平面DFB′，AC⊥平面

6、DFB′.∴DO⊥AF，DO⊥平面ABC.在RtΔADC中，CD＝2，AD＝2，∴DF＝，OD＝DF·sin60°＝.例6.正三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长均为2，M为AA1中点，N为BC的中点，在棱柱表面上从点M到点N的最短距离是多少?解析：(1)从侧面到N，如图1，沿棱柱的侧棱AA1剪开，并展开，则MN＝＝＝(2)从底面到N点，沿棱柱的AC、BC剪开、展开，如图2.则MN＝＝＝∵＜∴＝.6立体几何中的折叠与展开练习1.在矩形ABCD中，AB=a，AD=2b，a

7、折起，当时，二面角C—EF—B的平面角的余弦值等于（）A．0B．C．D．2.一张正方形的纸ABCD，BD是对角线，过AB、CD的中点E、F的线段交BD于O，以EF为棱，将正方形的纸折成直二面角，则∠BOD等于()A.120°B.150°C.135°D.90°3.长方形中，AB=BC,把它折成正三棱柱的侧面，使AD与BC重合，长方形的对角线AC与折痕线EF、GH分别交于M、N,则截面MNA与棱柱的底面DFH所成的角等于()A．30oB．45oC．60oD．90o4.如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分

8、别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．0°5.设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，