7大晶系的弹性模量矩阵元

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1、关于弹性常数的计算-弹性模量矩阵元  2010-06-2910:44:06

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4、字号 订阅最近又开始辗转计算NH3BH3的弹性常数了。还是VASP软件，首先还是很感谢论坛上的各位前辈：）在计算弹性常数时，还是参考的是侯老师的指南，最近很迷恋这个。下面先转载一篇别人的日志：关键词：第一性原理计算（First-principlescalculations）刚度矩阵（Stiffnessmatrix）晶系（Latticesystem）1.弹性模量矩阵元对于足够小的变形，由胡克定律（Hooke'sLaw）可知，应

5、力与应变成正比，即应力分量是应变分量的线性函数，用矩阵的形式可以表示为：T1 C11C12C13C14C15C16 S1T2 C12C22C23C24C25C26 S2T3=C13C23C33C34C35C36?S3T4 C14C24C34C44C45C46 S4T5 C15C25C35C45C55C56 S5T6 C16C26C36C46C56C66 S6式中Cij就是我们通常所说的弹性模量，可以证明，上述刚度矩阵为对称阵，Cij=Cji，因此，弹性模量的独立张量元数目至多只有21个。晶系的对称性越高，独立的张量元数目就越少

6、。需要指出的是，Cij的数目只与晶系有关，而与晶系中具体的对称类型无关。下面分别讨论七种不同晶系的弹性模量矩阵元：1.1三斜晶系（Triclinicsystem）三斜晶系是所有七大晶系中对称性最低的晶系，因此拥有最多的独立矩阵元，其形式为：C11C12C13C14C15C16C12C22C23C24C25C26C13C23C33C34C35C36C14C24C34C44C45C46C15C25C35C45C55C56C16C26C36C46C56C66共有21个独立的刚度矩阵元，求解过程也因此较为复杂。1.2单斜晶系（Mono

7、clinicsystem）C11C12C1300C16C12C22C2300C26C13C23C3300C36000C44C450000C45C550C16C26C3600C66考虑对称性后，单斜晶系有11个独立的矩阵单元。1.3正交晶系（Orthorhombicsystem）C11C12C13000C12C22C23000C13C23C33000000C44000000C55000000C66从上式可以看出，正交晶系拥有相当高的对成性，其独立刚度矩阵元的数目为8个。1.4四方晶系（Tetragonalsystem）1.4.1

8、四方晶系（4，-4，4/m）对于具有4，-4，4/m对称操作的四方晶系，其弹性矩阵的形式为：C11C12C1300C16C12C22C2300-C16C13C23C33000000C44000000C440C16-C16000C66其独立刚度矩阵元的数目也为8个。1.4.2 四方晶系（422，4mm，-42m，4/mmm）对于具有422，4mm，-42m，4/mmm对称操作的四方晶系，其弹性矩阵的形式为：C11C12C13000C12C11C13000C13C13C33000000C44000000C44000000C66独立

9、刚度矩阵元的数目仅为6个。1.5 三角晶系（Trigonalsystem）1.5.1三角晶系（3，3）C11C12C13C14C150C12C11C13-C14-C150C13C13C33000C14-C140C440-C45C15-C1500C44C14000-C45C14(C11-C12)/2三角晶系（3，3）的独立刚度矩阵元的数目为8个。1.5.2三角晶系（32，3m，32/m）C11C12C13C1400C12C11C13-C1400C13C13C33000C14-C140C44000000C44C140000C14(

10、C11-C12)/2三角晶系（32，3m，32/m）的独立刚度矩阵元的数目为6个。1.6 六角晶系（Hexagonalsystem）C11C12C13000C12C11C13000C13C13C33000000C44000000C44000000(C11-C12)/2六角晶系共有5个独立的刚度矩阵元。1.7 立方晶系（Cubicsystem）C11C12C12000C12C11C12000C12C12C11000000C44000000C44000000C44立方晶系是所有晶系中对称度最高的晶系，其独立的刚度矩阵元数目仅为3个

11、。 至此，我们列出了所有七大晶系的刚度矩阵元，只要求出各晶系对应的所有独立矩阵元，即可得到晶体的刚度矩阵。