四川省成都外国语学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学Word版含解析.docx

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成都外国语学校2023~2024学年度高二上期12月考试数学试题(测试时间120分钟,满分150分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为()A.B.C.D.2.已知,分别是平面的法向量,若,则()A.B.C.1D.73.在一个实验中,某种豚鼠被感染病毒的概率均为,现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率:先由计算机产生出,之间整数值的随机数,指定1,2,3,4表示被感染,5,6,7,8,9,0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数:192907966925271932812458569683257393127556488730113537989431据此估计三只豚鼠都没被感染的概率为()A0.25B.0.4C.0.6D.0.754.方程,化简的结果是()A.B.C.D.5.图1为一种卫星接收天线,其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分,已知该卫星接收天线的口径,深度,信号处理中心位于焦点处,以顶点为坐标原点,建立如图2所示的平面直角坐标系,若是该拋物线上一点,点,则的最小值为() A.4B.3C.2D.16.已知矩形为平面外一点,平面,点满足,.若,则()A.B.1C.D.7.已知双曲线的右焦点为,过作双曲线的其中一条渐近线的垂线,垂足为(第一象限),并与双曲线交于点,若,则的斜率为()A.B.C.D.8.已知的三个顶点都在椭圆:()上,其中为左顶点,为上顶点,若以为顶角的等腰三角形恰好有3个,则的离心率的取值范围为()A.B.C.D.二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.数据的第65百分位数为35,则的取值可以是()A.20B.35C.42D.5310.对于一个古典概型的样本空间和事件A,B,其中,,,则() A.事件A与事件B互斥B.C.事件A与事件相互独立D.11.已知,分别为双曲线的左、右焦点,为双曲线上第一象限内一点,且,,关于的平分线的对称点恰好在上,则()A.的实轴长为2B.的离心率为C.面积为D.的平分线所在直线的方程为12.如图,已知正方体的棱长为2,点M为的中点,点P为正方形上的动点,则()A.满足MP//平面的点P的轨迹长度为B.满足的点P的轨迹长度为C.存在点P,使得平面AMP经过点BD.存在点P满足三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.对任意实数,圆恒过定点,则定点坐标为__.14.已知向量,,若与夹角为钝角,则实数的取值范围为______.15.已知椭圆的左焦点为,点P是椭圆上异于顶点的任意一点,O为坐标原点,若点M是线段的中点,则的周长为______. 16.过点作抛物线两条切线,切点分别为和,又直线经过抛物线的焦点,那么=______.四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例、使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数、将数据分成7组:,,…,,并整理得到如图的频率分布直方图.(1)估计总体400名学生中分数小于60的人数;(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间内的人数;(3)根据该大学规定、把25%的学生划定为不及格、确定本次测试的及格分数线、低于及格分数线的学生需要补考.18.已知圆和圆相交于两点,求:(1)线段的长;(2)两圆有公切线方程.19.如图,多面体中,面为正方形,平面,且为棱的中点,为棱上的动点.(1)证明:当为棱的中点时,平面; (2)是否存在点,使得;若存在,求的值;若不存在,请说明理由.20.甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.已知在每场比赛中,甲胜乙和甲胜丙的概率均为,乙胜丙的概率为,各场比赛的结果相互独立.经抽签,第一场比赛甲轮空.(1)求前三场比赛结束后,丙被淘汰的概率;(2)求只需四场比赛就决出冠军的概率.21.已知抛物线上第一象限的一点到其焦点的距离为2.(1)求抛物线C的方程和点坐标;(2)过点的直线l交抛物线C于A、B,若的角平分线与y轴垂直,求弦AB的长.22.已知椭圆的左,右焦点分别为,且与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形,点在椭圆上,过点作互相垂直且与轴不重合的两直线分别交椭圆于,且分别是弦的中点.(1)求椭圆的方程;(2)求证:直线过定点;(3)求面积的最大值. 成都外国语学校2023~2024学年度上期高二上12月考试数学试题(测试时间120分钟,满分150分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线倾斜角为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出直线的斜率,进而可得出该直线的倾斜角.【详解】因为直线的斜率为,因此,该直线的倾斜角为.故选:A.2.已知,分别是平面的法向量,若,则()AB.C.1D.7【答案】B【解析】【分析】利用平面平行可得法向量平行,列出等式即可求解【详解】因为,分别是平面的法向量,且,所以,即,解得故选:B3.在一个实验中,某种豚鼠被感染病毒的概率均为,现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率:先由计算机产生出,之间整数值的随机数,指定1,2,3,4表示被感染,5,6,7,8,9,0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数:192907966925271932812458569683257393127556488730113537989431据此估计三只豚鼠都没被感染的概率为() A.0.25B.0.4C.0.6D.0.75【答案】A【解析】【分析】求得三只豚鼠都没有被感染的数量,结合题意,求解即可.【详解】组数据中,都不含的数据有5个,分别是:907,966,569,556,989;故三只豚鼠都没被感染的概率为:.故选:.4.方程,化简的结果是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由条件利用椭圆的定义、标准方程,即得.【详解】由,可得点到定点,的距离之和等于12,即,所以动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆,设其方程为,则,,所以,,故方程为.故选:B.5.图1为一种卫星接收天线,其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分,已知该卫星接收天线的口径,深度,信号处理中心位于焦点处,以顶点为坐标原点,建立如图2所示的平面直角坐标系,若是该拋物线上一点,点,则的最小值为() A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】【分析】由已知点在抛物线上,利用待定系数法求抛物线方程,结合抛物线定义求的最小值.【详解】设抛物线的方程为,因为,,所以点在抛物线上,所以,故,所以抛物线的方程为,所以抛物线的焦点的坐标为,准线方程为,在方程中取可得,所以点在抛物线内,过点作与准线垂直,为垂足,点作与准线垂直,为垂足,则,所以,当且仅当直线与准线垂直时等号成立,所以的最小值为3,故选:B. 6.已知矩形为平面外一点,平面,点满足,.若,则()A.B.1C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意,由平面向量基本定理结合平面向量的线性运算,即可得到结果.【详解】因为,,所以,因为,所以,,,所以.故选:C7.已知双曲线的右焦点为,过作双曲线的其中一条渐近线的垂线,垂足为(第一象限),并与双曲线交于点,若,则的斜率为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由已知,可知,再结合双曲线的定义,得,在中用余弦定理可知 ,又,整理可得,可得的斜率.【详解】由已知直线的方程为,即,点,则,因为,所以为线段的中点,则,设双曲线的左焦点为,则,在中,,又,所以,故的斜率为,故选:B.8.已知的三个顶点都在椭圆:()上,其中为左顶点,为上顶点,若以为顶角的等腰三角形恰好有3个,则的离心率的取值范围为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意知只需椭圆与圆有四个公共点,求出的关系得离心率的取值范围【详解】由题意知的第三个顶点在以为圆心,以为半径的圆上,要使以 为顶角的等腰三角形恰好有3个,则需要满足椭圆与圆有四个公共点,由得,所以或,当时,椭圆与圆有两个交点,分别为左右顶点,当位于右顶点处满足条件;当时,要满足椭圆与圆有两个不同交点,需要,即,即,解得,所以.故选:A【点睛】关键点点睛:要满足条件的三角形有3个,关键是将条件转化为椭圆与圆有四个公共点解决.二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.数据的第65百分位数为35,则的取值可以是()A.20B.35C.42D.53【答案】BCD【解析】【分析】根据第百分位数的概念进行计算并判断.【详解】因为,所以第百分位数是这组数据的第个,即为, 又因为本组数据中小于的数据已有个,所以,故选:BCD.10.对于一个古典概型的样本空间和事件A,B,其中,,,则()A.事件A与事件B互斥B.C.事件A与事件相互独立D.【答案】BC【解析】【分析】根据古典概型结合概率的性质以及事件的独立性分析判断.【详解】由题意可得:,则,∵,∴,即事件A与事件B不互斥,A错误;可得:,故,可知B正确,D错误;又∵,∴事件A与事件相互独立,C正确;故选:BC.11.已知,分别为双曲线的左、右焦点,为双曲线上第一象限内一点,且,,关于的平分线的对称点恰好在上,则()A.的实轴长为2B.的离心率为C.的面积为 D.的平分线所在直线的方程为【答案】ACD【解析】【分析】求出双曲线的解析式,即可求出实轴长和离心率,求出焦点即可得出面积,利用倾斜角即可求出的平分线所在直线的方程.【详解】由题意,在中,∵关于的平分线的对称点恰好在上,∴,,三点共线,且,∵,∴.设,,根据双曲线定义可得,,解得,,即,∴.在中,根据勾股定理可得,,解得,∴的实轴长为2,所以A正确;又,,∴的离心率为,所以B不正确;的面积为,∴C正确;∵,∴,∵,易得的平分线的倾斜角为,∴的平分线所在直线的方程为,即,所以D正确.故选:ACD.12.如图,已知正方体的棱长为2,点M为的中点,点P为正方形上的动点,则() A.满足MP//平面的点P的轨迹长度为B.满足的点P的轨迹长度为C.存在点P,使得平面AMP经过点BD.存在点P满足【答案】AD【解析】【分析】利用线面平行的判定定理可以证得点的轨迹,进而判断A;建立空间直角坐标系,得到,,为正方形上的点,可设,且,,进而对BCD各个选项进行计算验证即可判断并得到答案.【详解】对于A,取的中点,的中点,又点为的中点,由正方体的性质知,,,,所以平面平面,又平面,平面,故点的轨迹为线段,故A正确;对B,方法一:在平面中过作,交于,设,则,,, 由,可解得,同理,在平面中过作,交于,可得,因为,所以平面,因为,所以平面,所以点P的轨迹为线段,长度为,故B不正确;方法二:以为原点,分别以为轴建立空间直角坐标系,则,,设,且,,,,,即,又,,则点的轨迹为线段,,且,故B错误;对于C,方法一:取中点,连接,正方体中,易得,所以平面 截正方体的截面为平面,显然平面,故不存在点P,使得平面AMP经过点B,故C错误;方法二:设,且,,若平面AMP经过点B,则,且,又,所以,即,因此,从而,不合题意,所以不存在点P,使得平面AMP经过点B,故C错误;对于D,方法一:延长至,令,则,所以,因为,所以存在点满足,故D正确.方法二:点关于平面的对称点的为,三点共线时线段和最短, 故,故存在点满足,故D正确.故选:AD.三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.对任意实数,圆恒过定点,则定点坐标为__.【答案】或【解析】【分析】由已知得,从而,由此能求出定点的坐标.【详解】解:,即,令,解得,,或,,所以定点的坐标是或.故答案为:或.14.已知向量,,若与的夹角为钝角,则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】两个向量的夹角为钝角等价于且与不共线.【详解】由;由.综上:且.故答案为:.15.已知椭圆的左焦点为,点P是椭圆上异于顶点的任意一点,O为坐标原点,若点M 是线段的中点,则的周长为______.【答案】8【解析】【分析】由椭圆的定义以及三角形中位线的性质,即可得到本题答案.【详解】由椭圆,得,由题意可知如图:连结,点M是线段的中点,可得OM为的中位线,所以,由椭圆的定义可知,得,所以的周长为:.故答案为:8【点睛】本题主要考查椭圆的定义,其中涉及到三角形中位线的应用.16.过点作抛物线的两条切线,切点分别为和,又直线经过抛物线的焦点,那么=______.【答案】4【解析】【分析】由题意,利用两种方法化简所求代数式,方法一:设出过与抛物线的切线的点斜式方程,联立方程,由切点性质,则,可得方程,根据题意,结合韦达定理,可得,同样的思路,设出过焦点的直线,联立方程,结合韦达定理,可得,故可得第一种所求代数式的表示; 方法二:利用导数的几何意义,求切线斜率,可得,结合方法一中,可得第二种所求代数式的表示;综上建立方程,求得的值,进而求得答案.【详解】由题意,显然过点作抛物线的切线的斜率存在,设该斜率为,则该切线方程,即,联立,消去可得,由于切线与抛物线只有唯一交点,则,整理可得,由题意,可知为方程的两个根,则,由题意,设直线的方程为,联立可得,消去可得,由题意可知为该方程的两个根,则,故,由抛物线方程,可得函数与函数,则与不妨设在第一象限,则,即,且,由设在第一象限,则在第四象限,即,可得,且,故, 由,则,综上可得,解得,故.故答案为:.【点睛】对于抛物线的焦点弦,要熟记直线与抛物线联立,消元选择消去一次项,根据韦达定理,可得两个交点坐标与之间的等量关系;对于切线的斜率,利用导数的几何意义进行计算,要善于化简表达式,可用纵坐标表示,结合韦达定理,可得简化计算.四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例、使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数、将数据分成7组:,,…,,并整理得到如图的频率分布直方图.(1)估计总体400名学生中分数小于60的人数;(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间内的人数;(3)根据该大学规定、把25%的学生划定为不及格、确定本次测试的及格分数线、低于及格分数线的学生需要补考.【答案】(1)80(2)20(3)65分【解析】【分析】(1)由频率分布直方图求出分数不小于60的频率,即可得到分数小于60的频率,即可估计人数;(2)由频率分布直方图求出分数在区间内的人数,即可估计总体中分数在区间 内的人数;(3)根据百分位数计算规则计算可得.【小问1详解】解:据频率分布直方图可知,样本中分数不小于60的频率为,所以样本中分数小于60的频率为,所以估计总体400名学生中分数小于60的人数为.【小问2详解】解:根据题意,样本中分数不小于50的频率为,分数在区间内的人数为,所以总体中分数在区间内的人数估计为.【小问3详解】解:设分数的第25百分位数为,分数小于70的频率为,分数小于60的频率为,所以,即,解得,则本次考试的及格分数线为65分.18.已知圆和圆相交于两点,求:(1)线段的长;(2)两圆有公切线方程【答案】(1)(2)或【解析】【分析】(1)两方程联立求出直线的方程,利用垂径定理和勾股定理即可求出线段的长;(2)利用图象找出一条公切线,利用点在圆上的对称点即可得出公切线方程.【小问1详解】由题意, 联立方程组,两式相减得到直线的方程为,则原点到直线的距离为,根据勾股定理得【小问2详解】由题意及(1)得,在圆中,,∴,半径为,在圆中,圆心,半径为,可得直线与两圆相切,即为两圆的公切线,则关于两圆圆心所在直线对称的直线即为另一条公切线,由和,可得两圆心所在直线为,即,联立方程组,解得,即交点坐标为,在直线上任取一点, 设点关于直线对称点为,可得,解得,即对称点的坐标为,所求的另一条切线过点,可得其方程为,故所求切线方程为或.19.如图,多面体中,面为正方形,平面,且为棱的中点,为棱上的动点.(1)证明:当为棱的中点时,平面;(2)是否存在点,使得;若存在,求的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)不存在,理由见解析【解析】【分析】(1)取中点为,通过平行关系证明四边形为平行四边形,再结合线面平行的判定定理完成证明;(2)建立合适空间直角坐标系,将垂直关系转化为向量的数量积为,结合结果进行判断即可. 【小问1详解】当为的中点时,取中点为,连接,因为分别为的中点,故可得,根据已知条件可知:,故,故四边形为平行四边形,则,又平面平面,故面;【小问2详解】因为平面平面,故,又四边形为矩形,故,则两两垂直,以为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示,则,设,若,则,即,解得,不满足题意,故不存在. 20.甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.已知在每场比赛中,甲胜乙和甲胜丙的概率均为,乙胜丙的概率为,各场比赛的结果相互独立.经抽签,第一场比赛甲轮空.(1)求前三场比赛结束后,丙被淘汰的概率;(2)求只需四场比赛就决出冠军的概率.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)设事件为甲胜乙,为甲胜丙,为乙胜丙,然后得出丙被淘汰可用事件,根据互斥事件的概率公式以及事件的独立性,即可得出答案;(2)分最终的冠军为甲,乙,丙,分别求解出概率,然后根据互斥事件的概率公式,即可得出答案.【小问1详解】记事件为甲胜乙,则,则,事件为甲胜丙,则,,事件为乙胜丙,则,.则丙被淘汰可用事件来表示,所以,前三场比赛结束后,丙被淘汰的概率为.【小问2详解】若最终的冠军为甲,则只需四场比赛就决出冠军可用事件来表示,;若最终的冠军为乙,则只需四场比赛就决出冠军可用事件来表示, ;若最终的冠军为丙,则只需四场比赛就决出冠军可用事件来表示,.所以,只需四场比赛就决出冠军的概率为.21.已知抛物线上第一象限的一点到其焦点的距离为2.(1)求抛物线C的方程和点坐标;(2)过点的直线l交抛物线C于A、B,若的角平分线与y轴垂直,求弦AB的长.【答案】(1)抛物线方程为:,点坐标为(2,1)(2)4【解析】【分析】(1)根据题意结合抛物线的定义可求出,则可得抛物线方程,再将代入抛物线方程可求出,从而可求得点的坐标,(2)由题意可得直线l的斜率存在,设直线方程为,,,将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系,再由的角平分线与y轴垂直,可得,化简可求出的值,再利用弦长公式可求得弦AB的长.【小问1详解】由可得:p=2,故抛物线方程为:,当y=1时,,又因为x>0,所以x=2,所以点坐标为(2,1);【小问2详解】由题意可得直线l的斜率存在,设直线方程为,,, 由,得,所以,,,因为的角平分线与y轴垂直,所以,所以,即,即,所以,,,所以.22.已知椭圆的左,右焦点分别为,且与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形,点在椭圆上,过点作互相垂直且与轴不重合的两直线分别交椭圆于,且分别是弦的中点.(1)求椭圆的方程;(2)求证:直线过定点;(3)求面积的最大值.【答案】(1)(2)证明见解析(3)【解析】【分析】(1)根据条件列出方程组求解;(2)设直线的方程为,根据已知条件,利用韦达定理和中点公式求得,,然后按照其横坐标是否相等,分别研究直线的方程,从而得到结论; (3)求得△MNF2面积关于的表达式,然后利用换元思想,设转化为关于的函数,利用函数的单调性求解得到.【小问1详解】因为椭圆经过点,所以,因为与短轴一个顶点构成一个等腰直角三角形,所以,所以,解得,所以椭圆方程为.【小问2详解】证明:设直线的方程为,则直线的方程为,联立,消去得,设,则,所以,由中点坐标公式得,将的坐标中的用代换,得的中点,当时,所在直线为,当时,,直线的方程为, 整理得,令,可得,即有,所以直线过定点,且为.【小问3详解】方法一:面积为.令,由,,在上,∴递增,则在上递减,所以当,即时,取得最大值为,则面积的最大值为.方法二:,则面积,令,则,当且仅当,即时,面积的最大值为.所以面积的最大值为.

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