等分三角形的周长和面积的解法

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1、-等分周长和面积的解法探究阿波罗尼奥斯问题之常规解答金占魁湖北随县第一高级中学写在前面的话这个暑假有点酷热难耐，闲寂室内，偶翻昔日的读书笔记，忽然有一股想把所学知识系统归纳的冲动。想到了就干起来。第一个系列是阿波罗尼奥斯问题，共四篇，它们是：《解法基础》、《常规解答》、《特款解法》、《名家解法》。第二个系列是尺规作图中的偏锋杂题：《等内切圆定理的解答探究》、《同时等分面积周长问题的解法探究》、《索迪圆的作法探究》。需要说明的是，由于本人的笔记中鲜有原著原作者的记录，当时只为了省事为了记重点，所以本系列书丛中，

2、不说明其引用来源和出外，在此向原著作者表示歉意，同时也表达自己对原作者们的崇高敬意!谢谢他们的辛勤付出!本文作图力求简约，隐藏了旁条斜枝，尺规基本作图法也是一带而过，比如作△ABC的外接圆，我会叙述为：作⊙(ABC),而不是“作△三边的中垂线，它们的交点为O，再以O为圆心以OA为半径作圆”，若是这样的话，它会浪费你的宝贵的阅读时间的。同时为叙述简洁，解答部分先作如下约定：圆的记法：⊙(ABC)---表示过A、B、C三点的圆或△ABC的外接圆。⊙A(R)----表示以A为圆心，R为半径的圆。示例，⊙A(R-r)

3、--表示以A为圆心，(R-r)为半径的圆。⊙A(BC)---表示以A为圆心，BC为半径的圆。上面的叙述与“几何画板”作图有关。注意!本书不采用这种记圆法：⊙(O，R-r)-----以O为圆心，以R-r为半径的圆。⊙O(ABCDF)-----A、B、C、D、F多点共圆于⊙O。还有就是本系列丛书中，没有作弧的说法，全部改为作圆了。作圆的目的可能是为了作另一圆的切线，亦或者是为了截取线段的长，这可能对读者带来不便，请读者们谅解!2019年7月于随州金占魁尺规作图系列丛书【等分周长和面积的解法探究】※※※※※※※※等

4、分周长和面积的解法探究金占魁湖北随县第一高级中学写在前面的话这个暑期酷热而慢长，闲寂室内，偶翻昔日的读书笔记，忽然有一股想把所学知识系统归纳的冲动。想到了就干起来。第一个系列是阿波罗尼奥斯问题，共四篇，它们是：《解法基础》、《常规解答》、《特款解法》、《名家解法》。第二个系列是尺规作图中的偏锋杂题：《等内切圆定理的解答探究》、《等分面积和周长问题的解法探究》、《索迪圆的作法探究》。需要说明的是，由于本人的笔记中鲜有原著原作者的记录，当时只为了省事为了记重点，所以本系列书丛中，不说明其引用来源和出外，在此向原著

5、作者表示歉意，同时也表达自己对原作者们的崇高敬意!谢谢他们的辛勤付出!本文作图力求简约，隐藏了旁条斜枝，尺规基本作图法也是一带而过，比如作△ABC的外接圆，我会叙述为：作⊙(ABC),而不是“作△三边的中垂线，它们的交点为O，再以O为圆心以OA为半径作圆”，若是这样的话，它会浪费你的宝贵的阅读时间的。同时为叙述简洁，解答部分先作如下约定：圆的记法：⊙(ABC)---表示过A、B、C三点的圆或△ABC的外接圆。⊙A(R)----表示以A为圆心，R为半径的圆。示例，⊙A(R-r)--表示以A为圆心，(R-r)为半

6、径的圆。⊙A(BC)---表示以A为圆心，BC为半径的圆。上面的叙述与“几何画板”作图有关。注意!本书不采用这种记圆法：⊙(O，R-r)-----以O为圆心，以R-r为半径的圆。⊙O(ABCDF)-----A、B、C、D、F多点共圆于⊙O。还有就是本系列丛书中，没有作弧的说法，全部改为作圆了，原因是几何画板中，作圆要比作弧简单得多。这些可能对读者带来不便，请读者们谅解!2019年7月于随州1【金占魁系列丛书】我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索!【等分周长和面积的解法探究】※※※※※※※※第三节、作同时

7、等分三角形周长和面积的直线(简称周积等分线)1、三个定理和两个推论：定理1：三角形的周积等分线一定通过这个三角形的内心.证明：如图，设MN为△ABC的一条周积等分线，I为△ABC的内心，令△ABC的内切圆半径为r,设△ABC的三边长为，，，记，令M、N两点分别在边AB、AC上．则有AM+AN=，连接IA、IB、IC、IM、IN，则1111111S△୅୑୒=S△୅୆େ=(S△୅୆୍+S△୆େ୍+S△େ୅୍)=൬cr+ar+br൰=pr2222222ଵଵଵଵ又∵S四୅୑୍୒=S△୅୑୍+S△୅୒୍=ଶAM∙r+ଶ

8、AN∙r=ଶ(AM+AN)r=ଶpr∴S四୅୑୍୒=S△୅୑୒即得S△୑୍୒=0∴M、I、N三点共线，即直线MN经过内心I．定理2、过内心的一条直线若平分了面积，则直线也必然平分周长。证明：如图，I是△ABC的内心，半径ID=IE=IF=r，假设直线MN经过点I，ଵ并且平分△ABC的面积，即S△୅୑୒=S△୅୆େଶ111∵S△AMN=S△AMI+S△ANI=AM∙r+AN∙r=(AM+AN)∙r22