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《三 角 函 数 的 最 大 值 与 最 小 值》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、三角函数的最大值与最小值湖南省南县一中陈敬波(hncjbcjb@sohu.com)(413200)三角函数的最值问题是对三角函数的概念、图象与性质以及诱导公式、同角间的基本关系、两角的和与差公式的综合考查,也是函数思想的具体体现．解决三角函数的最值问题可通过适当的三角变换或代数换元,化归为某种三角函数或代数函数,再利用三角函数的有界性或常用的求函数最值的方法去处理,通常有以下六种类型．（１）（或）型的函数此类函数利用（或）即可求解,显然这里．例1．求的最大值与最小值．解：（若不要求记忆和差与积互化公式,则按下列解法）解：（２）型的函数此类函数可转化为其中辅助角所在的象限由a,b的符号确定,
2、角的值由确定．例2．当时,函数的（ ）Ａ． 最大值是１,最小值是－１ Ｂ． 最大值是１,最小值是－１Ｃ． 最大值是２,最小值是－２ Ｄ． 最大值是２,最小值是－１解析：故选（Ｄ）（１）型的函数此类函数可先降次,再整理转化为的形式来解决．例3．求的最小值,并求y取最小值时的的集合．解：,∴当即时,y取最小值使y取最小值的x的集合为（２）型的函数此类函数可转化为形如的二次函数,从而讨论其最值．例4.求函数(为定值)的最大值M.解:令,则如下图(1)若-a<-1,即a>1,则当t=-1时,有最大值M=-(-1+a)2+a2-a+1=a;(2)若-1≤-a≤1,即-1≤a≤1,则当t=-a时,有
3、最大值M=a2-a+1;(3)若-a>1,即a<-1,则当t=1时,有最大值M=-3a.注:本例借助函数思想,把所求的问题转化为给定区间上的二次函数的最值问题.（１）型的函数此类函数可转化为去处理,或利用万能公式换元后用判别去处理.例5.求下列函数的最大值与最小值.解：（1）原函数可变形为即又故所求最小值与最大值分别为：（2）原函数可转化为则解得（２）巧用换元法转化为代数函数的最值问题①对于含有的函数的最值问题，常用的解决方法是令,将转化为t的关系式，最终化归为二次函数或其他函数的最值问题.例6.已知,求函数的最值解:设,则.当时,;当时,例7.求函数的最大值与最小值.解:令:则且原函数变
4、为:则①首先利用换元法转化为代数函数,再利用函数的单调性求最值.例8.已知,求的最小值.解析:令则由函数的单调性的定义易证在上是减函数,
