构造法-构造方程法

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1、构造法之构造方程法构造方程主要依据两类条件：A类、△形式例1、柯西（Cauchy）不等式等号当且仅当或时成立（k为常数，）现将它的证明介绍如下：证明1：构造二次函数=恒成立即当且仅当即时等号成立例2、若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0求证：x、y、z成等差数列。分析：注意到条件中的等式右边代数式的结构特点，容易联想起一元二次方程根的判别式，为此可构造以(z-x)2-4(x-y)(y-z)为判别式的一元二次方程(x-y)t2+(z-x)t+(y-z)=0(*)由题可知⊿=(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0∴方程（*）有两个相等实根又∵(x-y)+(z-x)+(y-z

2、)=0∴t=1为方程（*）的一个根，从而t1=t2=1由韦达定理得：t1·t2=从而2y=x+z，命题得证。例3．设为实数.若，证明：；分析：所证不等式，联想到一元二次方程的根的判别式，因此可以构造二次函数，只要证得方程有两根或与轴相交即可．当时，由已知条件可得.（否则，若，则，不成立）．当时，设，因为，由已知，所以，　所以二次函数的图象与轴相交，故，即.说明，有些不等式的证明，如果借助已知条件的特点，通过构造二次函数来处理将会非常简捷，这种例子很多．例4、已知求证：证明：构造方程（*）例5、已知，，其中试确定的值.分析与解：由，诱发我们想到一元二次方程判别式.并且判别式等于方

3、程有等根.为此，不妨一试.令，则前一式改写为因为，所以式是的一元二次方程.由第二个关系式推知，的判别式所以，关于的一元二次方程有等根，即.由韦达定理得，所以因此，.B、韦达定理：两根之和两根之积形式例1、设且,,求的范围解由得(1)将(1)的两边平方并将代入得(2)由(1)(2)可知，是方程的两个不等的实根于是解得即:所以例2、已知实数满足，求的值分析根据本题的题设可能使我们联想到韦达定理，但仍需进行合理的变形，才能构造出方程组去求解。解由已知可得：，以、为两实数根，构造方程因为方程有实数根，所以.由此得到且所以方程有两个相等的实数根，所以于是所以所以例3、已知实数a、b、c满

4、足，求解a,b,c.分析：本题的解决当然可以用消去c的方法求解，把它变成一个关于a、b的一元二次方程，从而证明a=b，但由于题目条件中有a＋b和ab，使我们很自然地联想到韦达定理，因而可以构造一元二次方程求解。解：所以构造方程,其中a、b是该方程的两个根。故必有x=3且c=0即方程有两个相等的实数根3a=b=3,c=0例4、已知实数x、y、z满足x+y+z=5,xy+yz+zx=3求z最大值分析：对于条件中有两根之和及两根之积的题目，可考虑构建一元二次方程，借助△>=0来求解值域或最值。C、共性特征形式例1、设x,y为实数，且满足关系式：(x-1)3+1997(x-1)=-1(

5、y-1)3+1997(y-1)=1则x+y=.[分析]：此题用常规方法，分别求出x和y的值后再求x+y则既繁又难，三次方程毕竟不熟悉.若将两方程联立构造出方程(x-1)3+1997(x-1)=(1-y)3+1997(1-y)=1，利用函数f(t)=t3+1997t的单调性，易得x-1=1-y，自然、简洁.D、△的求最值作用例1、求y=的值域.分析:求函数的值域的方法很多,判别式法是常用的一种,它的理论依据是将y=f(x)化为关于x的二次方程,那么方程有实数解时,判别式0,由此可求得函数的值．解:将y=变形为关于x的方程+(y-5)x+(1-y)=0当y1时,-4=32y+210

6、,所以,,当y=1时,x=0,此时．于是y=的值域便是．例2、求证：证明：设则：当时，显然成立.当时所以：