重庆市长寿中学校2022-2023学年高一下学期期中数学Word版含解析.docx

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重庆市长寿中学校高一下•半期考试数学试题一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知向量,向量,若,则等于(  )A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用向量平行的坐标表示列式求解.【详解】∵,,,∴,解得.故选:B.2.已知函数的图象为C,为了得到函数的图象,只要把C上所有的点().A.向右平行移动个单位长度B.向左平行移动个单位长度C.向右平行移动个单位长度D.向左平行移动个单位长度【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的平移得到答案.【详解】把的图像向右平移个单位长度,得到的图像.故选:【点睛】本题考查了三角函数的平移,属于简单题. 3.已知锐角,满足,,则的值为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由,利用两角差的余弦公式求解.【详解】解:因为,是锐角,且,,所以,,所以,,,故选:A4.已知角终边过点,则的值为()A.B.C.–D.–【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义计算可得.【详解】由题意得,点到原点的距离,所以根据三角函数的定义可知,,所以.故选:A.5.若的内角,,所对的边分别为,,,∠,,则一定是A.底边和腰不相等的等腰三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形【答案】D【解析】 【分析】根据题意,可知,由于,结合余弦定理得出,进而得出,即可得出的形状.【详解】解:由题可知,∠,,则在中,,根据余弦定理得:,则,即,即:,所以,则,所以一定等边三角形.故选:D.【点睛】本题考查判断三角形的形状和余弦定理的应用,属于基础题.6.如图,在平行四边形中,对角线与交于点,且,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】把作为基底,利用向量的加减法法则和已知条件,把用基底表示即可【详解】解:因为四边形为平行四边形,对角线与交于点,且,所以,所以.故选:C.7.如图所示,位于处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20海里的处的乙船,现乙船朝北偏东 的方向即沿直线前往处救援,则等于()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先利用余弦定理求出的值,再利用正弦定理求出的正弦值,然后根据展开即可求解.【详解】解:如图所示,在中,,由余弦定理得,解得,又由正弦定理得,由知为锐角,所以,所以.故选:B.8.设函数的最小正周期为,且在内恰有3个零点,则的取值范围是() A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据周期求出,结合的范围及,得到,把看做一个整体,研究在的零点,结合的零点个数,最终列出关于的不等式组,求得的取值范围【详解】因为,所以.由,得.当时,,又,则.因为在上的零点为,,,,且在内恰有3个零点,所以或解得.故选:D.二、多项选择题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对得5分,部分选对得2分,有选错的得0分)9.下列结论正确是() A.是第二象限角B.第三象限角集合为C.终边在轴上的角的集合为D.若角为锐角,则角为钝角【答案】AC【解析】【分析】根据终边相同角的表示,可以判断A错误,C正确;根据象限角的表示可以判断B错误;举特例可以判断D错误.【详解】对于选项A:因为,且为第二象限角,所以是第二象限角,故A正确;对于选项B:第三象限角的集合为,故B错误;对于选项C:终边在轴上的角的集合为,故C正确;对于选项D:若角为锐角,即,则,所以角不一定为钝角,例如,则为直角,故D错误;故选:AC.10.已知,,是的三个内角,下列结论一定成立的有()A.B.C.若,则D.若,则是等腰三角形【答案】AC【解析】【分析】由结合诱导公式可判断选项A,B,由三角形中大角对大边结合正弦定理可判断选项C,在三角形中若,则若或可判断选项D.【详解】由,则,故A正确.,故B不正确. 由三角形中大角对大边,,则,根据正弦定理有,故C正确.在三角形中若,则若或.所以或,则是等腰三角形或直角三角形,故D不正确.故选:AC【点睛】本题考查三角形中的三角变换,考查诱导公式,正弦定理,属于中档题.11.已知函数,则()A.是偶函数B.在区间单调递增C.的图像关于点对称D.的图像关于直线对称【答案】ACD【解析】【分析】对于A:先化简,再借助于为偶函数进行判断;对于B:利用复合函数单调性法则直接判断;对于C、D:利用代入法进行判断.【详解】对于A:.因为为偶函数,所以为偶函数.故A正确;对于B:当时,.因为在上递增,在上单减,所以在区间不单调.故B错误;对于C:因为,所以的图像关于点对称.故C正确;对于D:因为,所以的图像关于直线对称.故D正确;故选:ACD.12.给出下列命题,其中正确的选项有()A.等边中,向量与向量的夹角为B.,,则向量在向量上的投影向量为C.非零向量满足,则与的夹角为 D.若,,,为锐角,则实数的取值范围为【答案】ABC【解析】【分析】由向量夹角定义知A正确;由投影向量定义,结合向量坐标运算知B正确;根据向量线性运算的几何意义可确定C正确;由,根据为锐角可构造不等式组求得D错误.【详解】对于A,,为等边三角形,,A正确;对于B,,,在上的投影向量为,B正确;对于C,,以构成如图所示的等边三角形,其中,,,以为邻边作平行四边形,则,四边形为菱形,,又,平分,,C正确;对于D,,,,为锐角,,解得:且,D错误.故选:ABC.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.计算:__________.【答案】【解析】【分析】直接利用二倍角公式计算得到答案.【详解】.故答案为:.14.已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是2,则扇形的周长为___________.【答案】【解析】【分析】根据题意结合扇形的弧长和面积公式运算求解.【详解】设扇形的半径为,由题意可得,解得,所以扇形的周长为.故答案为:.15.在中,,,是的平分线,交于点,且,则的面积为_______.【答案】【解析】【分析】在中用正弦定理求得,从而有,是直角三角形,面积易求.【详解】在中,,∴,∴(三角形内角的一半),∴.,. 故答案为:.【点睛】本题考查求三角形面积,考查正弦定理.属于中档题.16.已知△ABC中,A=60°,AB=6,AC=4,O为△ABC所在平面上一点,且满足OA=OB=OC.设=λ+μ,则λ+μ的值为________.【答案】【解析】【分析】由题意可知,为外接圆的圆心,在圆中,延长交于点,已知等式两边同乘以得:,同理得:,从而有:.【详解】由题意可知,为外接圆的圆心,设半径为,在圆中,过O作,,两边乘,,,得,同理两边乘,,,得,解得,,所以.故答案为:.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17.已知,且在第三象限,(1)和;(2).【答案】(1),(2)【解析】【分析】(1)根据同角的三角函数关系式即可求得答案;(2)利用诱导公式化简,结合三角函数正余弦齐次式求值,可得答案.【小问1详解】已知,且在第三象限,所以,.【小问2详解】18.已知,与的夹角是.(1)求的值及的值;(2)当为何值时,?【答案】(1),;(2).【解析】【分析】(1)由定义求出数量积,再利用模长公式及向量数量积的运算律即得;(2)由于,可得,利用向量的数量积的运算公式,即可求解. 【小问1详解】∵,与夹角是,∴,;【小问2详解】由题意,,即,解得,即时,.19.已知函数的部分图象如图.(1)求函数的解析式;(2)将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,再将所得图象向左平移个单位,得到函数的图象,当时,求值域.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)根据图象由函数最值求得,由函数周期求得,由特殊点求得,即可求得解析式;(2)根据三角函数图象的变换求得的解析式,再利用整体法求函数值域即可. 【小问1详解】由图象可知,的最大值为,最小值为,又,故,周期,,,则,从而,代入点,得,则,,即,,又,则..【小问2详解】将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,故可得;再将所得图象向左平移个单位,得到函数的图象故可得;,,,.20.已知外接圆的半径为,其内角的对边长分别为.若.(1)求角的大小.(2)若,求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】 (1)由正弦定理可知:,将等式转化为,由余弦定理可求出角;(2)由条件利用正弦定理可求出,又角是钝角,可知角为锐角,从而求出,根据三角形内角和的关系,=,从而求出的值.【详解】由知:,由,故为锐角,.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形,属于中档题.方法点睛:(1)用边化角或角化边将题干化简成统一形式,再用余弦定理或两角和与差的公式求角;(2)若题目中出现两边及其一边的对角,常用正弦定理求另一角,然后求其他量;(3)若出现两边以及第三边的对角,常用余弦定理求第三边,然后求其他量.21.已知在中,角的对边分别是,,,且.(1)求角;(2)若边长,求周长的取值范围.【答案】(1);(2). 【解析】【分析】(1)由,得,再利用余弦定理和三角函数恒等变换公式可求出角;(2)由余弦定理得,再利用基本不等式可求出,从而可求出周长的取值范围【详解】解:(1)∵,由正弦定理得,即,,在中,,,,;(2)由余弦定理可得:,即,,,,当且仅当时取等号,又得,周长范围22.已知函数为奇函数,且图象的相邻两对称轴间的距离为.(1)求的解析式; (2)当时,求的单调递减区间;(3)将函数的图象向右平移个单位长度,再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变),得到函数的图象,记方程在上的根从小到大依次为,试确定的值,并求的值.【答案】(1)(2)单调递减区间为(3),【解析】【分析】(1)利用三角恒等变换化简的表达式,结合其周期以及奇偶性求得参数,即得函数解析式;(2)根据正弦函数的单调性求得的单调递减区间,结合,即可求得答案;(3)根据三角函数图像的平移以及伸缩变换可得的表达式,将化简,结合正弦函数的图象,根据其对称性即可求得答案.【小问1详解】由题意得,因为图象的相邻两对称轴间的距离为,所以,,又由为奇函数,可得,,此时为奇函数,符合题意,函数;【小问2详解】 令,解得,则的单调递减区间为:,又,可得的单调递减区间为;【小问3详解】将函数的图象向右平移个单位长度,得到的图象,再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变),得到函数的图象,则,故,即,,可得,设,其中,即,结合正弦函数的图象:可得方程在区间有5个解,即,其中,即,,解得,

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