理论力学课后习题答案 第10章 动能定理及其应用 )

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1、第10章动能定理及其应用10－1计算图示各系统的动能：1．质量为m，半径为r的均质圆盘在其自身平面内作平面运动。在图示位置时，若已知圆盘上A、B两点的速度方向如图示，B点的速度为vB，q=45º（图a）。2．图示质量为m1的均质杆OA，一端铰接在质量为m2的均质圆盘中心，另一端放在水平面上，圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为v（图b）。(a)vOwA习题10－1图(b)(c)A3．质量为m的均质细圆环半径为R，其上固结一个质量也为m的质点A。细圆环在水平面上作纯滚动，图示瞬时角速度为w（图c）。解：1．2．3．习题10－2图(a)10－2图示滑块A重力为，可在滑道内滑动，与滑块A用

2、铰链连接的是重力为、长为l的匀质杆AB。现已知道滑块沿滑道的速度为，杆AB的角速度为。当杆与铅垂线的夹角为时，试求系统的动能。解：图（a）习题10－3图(a)10－3重力为、半径为的齿轮II与半径为的固定内齿轮I相啮合。齿轮II通过匀质的曲柄OC带动而运动。曲柄的重力为，角速度为，齿轮可视为匀质圆盘。试求行星齿轮机构的动能。解：10－4图示一重物A质量为m1，当其下降时，借一无重且不可伸长的绳索使滚子C沿水平轨道滚动而不滑动。绳索跨过一不计质量的定滑轮D并绕在滑轮B上。滑轮B的半径为R，与半径为r的滚子C固结，两者总质量为m2，其对O轴的回转半径为ρ。试求重物A的加速度。习题10

3、－4图解：将滚子C、滑轮D、物块A所组成的刚体系统作为研究对象，系统具有理想约束，由动能定理建立系统的运动与主动力之间的关系。设系统在物块下降任意距离s时的动能动能：其中，，力作的功：应用动能定理：将上式对时间求导数：求得物块的加速度为：习题10－5图O10－5图示机构中，均质杆AB长为l，质量为2m，两端分别与质量均为m的滑块铰接，两光滑直槽相互垂直。设弹簧刚度为k，且当θ=0˚时，弹簧为原长。若机构在θ=60˚时无初速开始运动，试求当杆AB处于水平位置时的角速度和角加速度。解：应用动能定理建立系统的运动与主动力之间的关系。动能：其中：；；外力的功：T=W；（1）当时：；对式（

4、1）求导：；其中：；当时：习题10－6图10－6图a与图b分别为圆盘与圆环，二者质量均为m，半径均为r，均置于距地面为h的斜面上，斜面倾角为q，盘与环都从时间开始，在斜面上作纯滚动。分析圆盘与圆环哪一个先到达地面？解：对图（a）应用动能定理：；求导后有设圆盘与圆环到达地面时质心走过距离d，则；对图（b）应用动能定理：；求导后有；习题10－7图因为t1

5、相碰时速度。根据运动学分析点及点分别为及杆的速度瞬心，如图（a）(a)动能定理：习题10－8图10－8质量为15kg的细杆可绕轴转动，杆端A连接刚度系数为k=50N/m的弹簧。弹簧另一端固结于B点，弹簧原长1.5m。试求杆从水平位置以初角速度=0.1rad/s落到图示位置时的角速度。解：，(a)rad/s习题10－9图10－9在图示机构中，已知：均质圆盘的质量为m、半径为r，可沿水平面作纯滚动。刚性系数为k的弹簧一端固定于B，另一端与圆盘中心O相连。运动开始时，弹簧处于原长，此时圆盘角速度为w，试求：（1）圆盘向右运动到达最右位置时，弹簧的伸长量；（2）圆盘到达最右位置时的角加速

6、度a及圆盘与水平面间的摩擦力。解：（1）设圆盘到达最右位置时，弹簧的伸长量为d，则；；OFOFAFN（a）amg；；（2）如图（a）：；；；习题10－10图10－10在图示机构中，鼓轮B质量为m，内、外半径分别为r和R，对转轴O的回转半径为，其上绕有细绳，一端吊一质量为m的物块A，另一端与质量为M、半径为r的均质圆轮C相连，斜面倾角为j，绳的倾斜段与斜面平行。试求：（1）鼓轮的角加速度a；（2）斜面的摩擦力及连接物块A的绳子的张力（表示为a的函数）。解：（1）应用动能定理：T=W其中：；；；；CFCFFN（a）aMgmgFT（b）aA设物块A上升距离sA时：对动能定理的表达式求导

7、：（2）如图（a）：；如图（b）：；10－11匀质圆盘的质量为、半径为r，圆盘与处于水平位置的弹簧一端铰接且可绕固定轴O转动，以起吊重物A，如图所示。若重物A的质量为；弹簧刚度系数为k。试求系统的固有频率。解：设弹簧上OB位于铅垂位置时为原长，则动能习题10－11图：(a)10－12图示圆盘质量为m、半径为r，在中心处与两根水平放置的弹簧固结，且在平面上作无滑动滚动。弹簧刚度系数均为。试求系统作微振动的固有频率。解：设静止时弹簧的原长，则习题10－12图动能弹力功：：习题10－1