浅谈数学专业毕业论文柯西收敛

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1、浅谈数学专业毕业论文柯西收敛浅谈数学专业毕业论文柯西收敛导读：级09级3班姓名论文题目cauchy收敛准则的应用指导教师潘虹职称讲师成绩20010年5月23日目录摘要…….............................................…1关键词..................................学年论文（本科）学院专业数学与应用数学年级09级3班姓名论文题目cauchy收敛准则的应用指导教师潘虹职称讲师成绩20010年5月23日目录摘要……....................

2、.........................…1关键词...................................................1Abstract…….........................................…..1Keyitfunction,inthetheoremthatplaysanimportantrole.Key∈N,对?m,n>M有xm?xn<?,或者对?np∈N有xn?p?xn<?.尽管用Cauchy收敛准则判断数列极限时并没有提供

3、计算极限的方法，但它的长处也正在于此—在论证极限问题时不需要事先知道极限的值.定理2.10（Cauchy收敛准则）数列?an?收敛的充要条件是：对任给的?>0,?正整数N，使得当nm>N时有an?am<?.an?A，证明[必要性]设lim由数列极限定义，对???0,?N?0当n??m,n?N时有am?A＜??，an?A＜，∴an?am?am?A+an?A＜?.22?N＞0，[充分性]按假设，对任给的?＞0，使得对一切n?N，有an?am??，即在区间[aN??，aN??]内含有中的所有项.据此令111?

4、??=，则?N1，在区间?aN?,aN??内含有?an?中的所有项，记此区间2?22?为??1,?1?再令?=111??，则存在，在区间内含有?an?a?,a?N?N??NN21222??222??11??几乎所有的项，记??2,?2???aN?2,aN?2????1,?1?，它也含有?an?中几22??乎所有的项，且满足??1,?1????2,?2?及?2??2?继续依次令??1.211，…,,…,照以上方法得一闭区间列{[?n,?n]}232n其中每个区间都含有?an?中几乎所有的项,且满足1??n,?n????n?

5、1,?n?1?,n?1,2???,?n??n?2n?1?0,即???n,?n??是区间套。由区间套定理，存在N＞0，使得当n＞N时有??n,?n??U??,??.因此在U??,??内含有?an?中除有限项外的所有项，这就证的liman??.n??例1证明an?sin1sin2sinn??????收敛?n?1,2,???n?.222?1?证明:?m,n?N且???0,取N????1,则有?2??am?an?111sin(n?1)sin(n?2)sinm???…＜…???mn?1n?2n?1n?2m222222?∴由Cauc

6、hy收敛准则知?an?收敛.12n(1?2)?m?n11??.2n1．2Cauchy收敛准则在证函数极限存在时的作用。定理3.11（柯西准则）：设函数f在U??x0;??在内有定义，limf?x?存n??在的充要条件是：任给?>0,存在正数?(??')，使得对任何x',x''∈u0(x0;?)有f?x???f?x?????证明必要性设limf?x??A，则对任给的??0,,存在正数x?x0使得对?x?U??x0;??有f?x??A??(??')，有f?x???f?x????f?x???A?f?x????A??2于是

7、对任何x',x''∈u0(x0;?)?2??2??n??充分性设数列?xn??U??x0;??且limxn?x0,按假设对任给?>0,存在正数?(??')，使得对任何x',x''∈u0(x0;?)有f(x')?f(x'')＜?，由于xn?x0?n???，对上述??0,?N?0，使得当n,m?N时有xn,xm?U??x0;??，从而有fn?x??fm?x???∴由数列Cauchy收敛准则数列?f(xn)?的极限存在记为A，即limfn???xn??A.n??设另一数列?yn??U?(x0;?')且limyn?x0，则

8、如上所证limf?yn?存在n??记为B，现证A=B.设数列?zn?：x1,y1,x2,y2,???,xn,yn???易见?zn??U??x0;??且limzn?x0n??∴?f?zn??也收敛∴limf?xn??limf?yn?∴由归结原则，limf?x??An??n??n??1．3Cauchy收敛准则在证级数收敛