高中数学直线与方程教案

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1、平面解析几何第一讲直线方程知识归纳：一、直线的倾斜角与斜率1、确定直线的几何要素是：直线上两不同的点或直线上一点和直线的方向两个相对独立的条件注意：表示直线方向的有：直线的倾斜角（斜率）、直线的方向向量、直线的法向量2、直线的倾斜角：当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。注意：①从用运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴绕交点按逆时针方向转到与直线重合时所成的角；②规定：直线与轴平行或重合时，直线的倾斜角为③直线倾斜角α的取值范围是：④在同一直角坐标系下，任何一条直线都有倾斜角且唯一，倾斜程度相同的

2、直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等。3、直线的斜率：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，即。它从另一个方面反映了直线的倾斜程度。注意：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率，当时，；当时，；当时，不存在，当时，。即：斜率的取值范围为例1、给出下列命题：①若直线倾斜角为，则直线斜率为；②若直线倾斜角为，则直线的倾斜角为；③直线的倾斜角越大，它的斜率越大；④直线的斜率越大，其倾斜角越大；⑤直线的倾斜角的正切值叫做直线的斜率。其中正确命题的序号为例2、已知直线的倾斜角为，且，求直线的斜率4、直线斜率的坐标公式

3、经过两点的直线的斜率公式：注意：①斜率公式与两点的顺序无关，即②特别地：当时，；此时直线平行于轴或与轴重合；当时，不存在，此时直线的倾斜角为，直线与轴平行或重合。例3、已知点，求直线的斜率并判断倾斜角的范围。例4、（三点共线问题）已知三点，证明这三点在同一条直线上例5、（最值问题）已知实数，满足，当时，求的最大值和最小值5、直线的方向向量：已知是直线上的两点，直线上的向量及与它平行的向量都称为直线的方向向量。直线与轴不垂直时，，此时，向量也是直线的方向向量，且它的坐标是，即（1，k），其中k为直线的斜率6、直线的法向量：如果向量与直线垂直，则称向量

4、为直线的法向量。二、直线的方程1、定义：一般地，以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上点的坐标都是这个方程的解，这是，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。2、直线方程的几种形式（1）点斜式：问题：若直线经过点，且斜率为k，求直线的方程。解析：设点是直线上不同于点的任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式，得，可化为，即为过点、斜率为k的直线的方程。方程是由直线上一点及其斜率确定的，把这个方程叫做直线的点斜式的方程，简称点斜式。注意：①与是不同的，前者表示直线上缺少一个点，后者才是整条直线；②当直线的倾斜角

5、为时，，即，这时直线的方程为③当直线的倾斜角为时，直线斜率不存在，这时直线与轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示，它的方程是。即：局限性是不能表示垂直于轴的直线。④经过点的直线有无数条，可分为两类情况：ⅰ、斜率为k的直线，方程为ⅱ、斜率不存在的直线，方程为或写为例6、根据条件写出下列各题中的直线的方程①经过点，倾斜角，②经过点，斜率为2③经过点，且与轴平行④经过点，且与轴垂直（2）斜截式：问题：已知直线的斜率是k，与轴的交点是，代入直线方程的点斜式，得直线的方程，也就是，我们称是直线在轴上的截距。这个方程是由直线的斜率k和它在轴上的截距确定的，所

6、以叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。注意：①②局限性：不表示垂直于轴的直线③斜截式方程和一次函数的解析式相同，都是，但有区别：当斜率不为0时，是一次函数，当时，不是一次函数；一次函数（）必是一条直线的斜截式方程。例7、求倾斜角是直线的倾斜角的，且在轴上的截距为的直线的方程。（3）两点式：问题：已知直线经过两点，求直线的方程解析：因为直线经过两点，所以它的斜率，代入点斜式，得，当时，方程可以写成这个方程是由直线上两点确定的，所以叫做直线的两点式方程，简称两点式。注意：①方程与方程比较，后者比前者表示直线的范围更小了，前者不能表示斜率不存在的直线，后者

7、除此外，还不能表示斜率为0的直线；局限性：不能表示垂直于坐标轴的直线。②两点式方程与这两个点的顺序无关。例8、已知点，，求直线的方程例9、一条光线从点出发，经轴反射，通过点，求入射光线和反射光线所在直线的方程（4）截距式：问题：已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，其中，求直线的方程。解析：因为直线经过和两点，将这两点的坐标代入两点式，得，即为如果直线与轴的交点为，则称为直线在轴上的截距。以上直线方程是由直线在轴和轴上的截距确定的，所以叫做直线的截距式方程，简称截距式注意：方程中，所以它不能表示与坐标轴平行（重合）的直线，还不能表示过原点的直线。例1

8、0、过两点，的直线在轴上的截距为（5）一般式方程：以上几种形式的直线方程都是二元一次方程，即平面上任何一条直线都可以用一个