2012届北京市西城区高三期末理科试卷及答案

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1、北京市西城区2011—2012学年度第一学期期末考试数学试题（理）本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第I卷（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．复数（）A．B．C．D．2．已知圆的直角坐标方程为．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（）A．B．C．D．3．已知向量，．若实数与向量满足，则可以是（）A．B．C．D．4．执行如图

2、所示的程序框图，输出的值为（）A．B．C．D．5．已知点的坐标满足条件那么的取值范围是（）A．B．C．D．6．已知．下列四个条件中，使成立的必要而不充分的条件是（）A．B．C．D．7．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A．B．C．D．8．已知点．若曲线上存在两点，使为正三角形，则称为型曲线．给定下列三条曲线：①；②；③．其中，型曲线的个数是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．函数的定义域是______．10．若双曲线的一个焦点是，则实数______．11．如图

3、，是圆的切线，为切点，是圆的割线．若，则______．12．已知是公比为的等比数列，若，则；______．13．在△中，三个内角，，的对边分别为，，．若，，，则；．14．有限集合中元素的个数记作．已知，，，，且，．若集合满足，则集合的个数是_____；若集合满足，且，，则集合的个数是_____．（用数字作答）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）已知函数，．（Ⅰ）求的零点；（Ⅱ）求的最大值和最小值．16．（本小题满分13分）盒中装有个零件，其中个是使用过的，另外个未经使用

4、．（Ⅰ）从盒中每次随机抽取个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求次抽取中恰有次抽到使用过的零件的概率；（Ⅱ）从盒中随机抽取个零件，使用后放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为，求的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，，，是的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）试问线段上是否存在点，使与成角？若存在，确定点位置，若不存在，说明理由．18．（本小题满分13分）已知椭圆的一个焦点是，且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设经过点的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围．

5、19．（本小题满分14分）已知函数，其中．（Ⅰ）若是的极值点，求的值；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范围．20．（本小题满分13分）已知数列．如果数列满足，，其中，则称为的“衍生数列”．（Ⅰ）若数列的“衍生数列”是，求；（Ⅱ）若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：的“衍生数列”是；（Ⅲ）若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，…．依次将数列，，，…的第项取出，构成数列．证明：是等差数列．