第二章 平面向量名师导学-新课标人教版必修4

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1、第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念自主探究学习1.数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.A(起点)B（终点）a2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a、b（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：；④向量的大小――长度称为向量的模，记作

2、

3、.3.有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的.

4、②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.名师要点解析要点导学1.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向

5、相同，也是不同的有向线段.2.向量a与b相等，记作a＝b；零向量与零向量相等；任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.3.零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.4.平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.【经典例题】【例1】下列命题正确的是【】A.a与b共线，b与ｃ共线，则a与ｃ也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量a与b不共线，则a与b都是非

6、零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行【分析】由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a与b不都是非零向量，即a与b至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a与b共线，不符合已知条件，所以有a与b都是非零

7、向量.【解】选C.【点拨】对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从反面进行考虑，注意这两方面的结合.【例2】判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是＝⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.【分析】首先区别零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系，再一一判别正误..

8、【解】①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.②不正确.单位向量的模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.【点拨】本题考查基本概念，平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.2.2平面向量的线性运算2.2.1向量的加法运算及其几何意义自主探究学习1.向量的加法：

9、求两个向量和的运算，叫做向量的加法2.向量的加法有三角形法则和平行四边形法则.3..名师要点解析要点导学1.

10、+

11、≤

12、

13、+

14、

15、，当且仅当方向相同时取等号；2.几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）课本中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的3.向量加法有如下规律：＋=＋(交换律)；a+(b+c)=(a+b)+c（结合

16、律）；+0=,＋(－)=0.因此，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.【经典例题】【例1】若a=“向东走8km”，b=“向北走8km”，则｜a+b

17、=_______，a+b的方向是_______.【分析】画出图形，以a、b为邻边的平行四边形是正方形，根据勾股定理可得

18、a+b

19、==8（km），a+b的方向是东北方向..【解】8km东北方向【点拨】解决这样的问题，画出以a、b为邻边的平行四边形以后，问题就会迎刃而解.【例2】如图，一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同