高中数学北师大版选修2-2第1章 复习点拨：宜用反证法证明的几类命题

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1、www.ks5u.com宜用反证法证明的几类命题反证法是证明数学命题的一种重要方法，当直接证明思路受阻，难以成功时，反证法常使人茅塞顿开，柳暗花明．它通常用来证明下列几类命题．一、否定性命题问题的结论是以否定形式出现（例如“没有…”，“不是…”，“不存在…”等）的命题，宜用反证法．例1　求证：是无理数．分析：在实数集内，证它是无理数，即证它不是有理数．证明：假设不是无理数，即为有理数，则设＝　，互质）从而　得，　上式表明：偶数等于奇数，这与偶数不等于奇数矛盾，于是假设不成立．故是无理数．例2　证明：一个三角形中不可能有

2、两个直角．分析：用三角形内角和为证一个三角形中不存在两个直角．证明：假设一个三角形中有两个直角．不妨设Ａ＝，Ｂ＝．∵Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝＋＋Ｃ＝＋Ｃ＞这与三角形内角和定理矛盾．　∴　假设不成立，即原命题成立．二、“至少”或“至多”类命题若一个命题的结论是“至少…”或“至多…”，“不都…”则可考虑用反证法．例3　已知、、、Ｒ，且＝2（＋）求证：方程＋＋＝０和＋＋＝０中，至少有一个方程有实根．分析：“至少有一个”是“有一个”、　“有两个”，它的反面是“一个都没有”．证明：假设这两个一元二次方程都没有实根，那么他们的判别式都小于０，

3、即：　　∴　　　∵＝２（＋）代入上式得　　，即．这与“任何实数的平方为非负数”相矛盾，所以假设不成立．故这两方程中，至少有一个方程有实根．三、唯一性命题若一个命题的结论是“…唯一”的形式出现，则可考虑用反证法．例4求证：在一个平面内，过直线外一点P只能作出一条直线垂直于．证明：假设过点Ｐ可以作两条直线垂直于直线如图，那么PAB＝PBA＝．ABP　　　　于是APB＋PAB＋PBA＞．即PAB的内角和大于，这与定理“三角形内角和等于”相矛盾，故假设不成立．