高中数学（北师大版）选修1-2教案：第3章 拓展资料：聚焦反证法

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1、www.ks5u.com聚焦反证法反证法是间接证明的一种基本方法，常常是解决某些“疑难”问题的有力工具．对于一些用直接证明的方法难以证明的结论，常采用反证法．熟练掌握并运用反证法，对提高同学们的解题能力大有裨益．下面就反证法的要点进行归纳整理．　　1．定义：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．　　2．反证法的基本思想是：否定结论就会导致矛盾．它可以用下面的程序来表示：“否定———推理———矛盾———肯定．”　　“否定”———假设所要证明的结论不成立，而结论的反面成立．　　“推理”———从已知条

2、件和假设出发，应用一系列的论据进行推理．　　“矛盾”———通过推导，推出与实际“需要”不符、与“公理”矛盾、与“已知定理”矛盾、与“定义”矛盾、与“题设”矛盾、自相矛盾等．　　“肯定”———由于推理过程正确．故矛盾是由假设所引起的，因此，假设是错误的，从而肯定结论是正确的．　　3．应用反证法的原则：正难则反，即如果一个命题的结论难以用直接法证明时可考虑用反证法．　　4．宜用反证法证明的题型：①易导出与已知矛盾的命题；②一些基本定理；③“否定性”命题；④“惟一性”命题；⑤“必然性”命题；⑥“至少”、“至多”命题等．　　5．注意事项：（１）应用反证法证明命题时，反设必须恰当．如“都

3、是”的否定是“不都是”、“至少一个”的否定是“不存在”等．　　（2）用反证法证明时最好在开篇注明“下面用反证法证明”，以告知读者按反证法的思路阅读或评卷．　　下面举例说明“反证法”在证题中的应用．　　例1　设的公比分别为．　　假设是等比数列，则有只需证．　　由于，　　而．　　从而有，而，　　故有，即，这与已知相矛盾．因此假设不成立，故不是等比数列．　　点评：当遇到结论为否定形式的命题时，常常采用反证法．　　例2　求证：两条平行线中一条与一个平面相交，那么另一条也与这个平面相交．　　已知：平面，如图1所示．　　求证：直线和平面相交．证明：假设和平面不相交，即或．　　（1）若，因为

4、，　　所以，这与相矛盾．　　（2）如果，因为，所以和确定一个平面，显然平面与平面相交．　　设，因为，所以．　　又，从而且．　　故，这与矛盾．由（1），（2）可知，假设不成立．故直线与平面相交．　　例3　求证：正弦函数没有比小的正周期．　　证明：假设是正弦函数的周期，且，则对任意实数都有成立．　　令，得，即，从而对任意实数都有，这与矛盾．所以正弦函数没有比小的正周期．　　例4　今有50位同学，男女各一半，围坐一圈，是否存在一种座位的安排方法，使得每一位同学左右两侧的两位同学为一男一女？证明结论．　　解：不存在这样的座位安排．　　证明：假设存在这样的安排，则每一位同学必与一同性别的

5、同学相邻，若以Ｍ表示男同学，Ｗ表示女同学，则每一对相邻而坐的男性（女性）同学的左右两侧必为两对相邻而坐的女性（或男性）同学，如图2所示，因此男性或女性同学数应是偶数，这和男性或女性同学数各占25矛盾，所以这种安排方法不存在．