2017-2018学年高中数学苏教版选修2-3课时跟踪训练（九）　二项式系数的性质及应用含解析

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1、课时跟踪训练(九)　二项式系数的性质及应用一、填空题1．已知n的展开式中前三项的系数成等差数列，则第四项为________．2．若n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为________．3．若n展开式中只有第6项的系数最大，则n＝________.4．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝________.5．若C＝C(n∈N*)且(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝________.二、

2、解答题6．二项式(2x－3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．7．求(1－x)8的展开式中(1)二项式系数最大的项；(2)系数最小的项．48．求证：32n＋2－8n－9能被64整除．答案1．解析：由题设，得C＋×C＝2××C，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(不合题意，舍去)，则8的展开式的通项为Tr＋1＝Cx8－rr，令r＋1＝4，得r＝3，则第四项为T4＝Cx53＝7x5.答案：7x52．解析：令x＝1,2n＝64⇒n＝6.4由Tr＋1＝C·36

3、－r·x·(－1)r·x－＝(－1)rC36－rx3－r，令3－r＝0⇒r＝3.所以常数项为－C33＝－20×27＝－540.答案：－5403．解析：由题意知，展开式中每一项的系数和二项式系数相等，第6项应为中间项，则n＝10.答案：104．解析：(1＋x)10＝[2－(1－x)]10其通项公式为：Tr＋1＝C210－r(－1)r(1－x)r，a8是r＝8时，第9项的系数．所以a8＝C22(－1)8＝180.答案：1805．解析：由C＝C，得3n＋1＝n＋6(无整数解，舍去)或3n＋1＝23－(n＋6)，解得n

4、＝4，问题即转化为求(3－x)4的展开式中各项系数和的问题，只需在(3－x)4中令x＝－1，即得a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝[3－(－1)]4＝256.答案：2566．解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.(1)二项式系数之和为C＋C＋C＋…＋C＝29.(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝1，y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.(3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，①令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－…－a9

5、＝59，②将①②两式相加，得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝，此即为所有奇数项系数之和．7．解：(1)因为(1－x)8的幂指数8是偶数，由二项式系数的性质，知(1－x)8的展开式中间一项(即第5项)的二项式系数最大．该项为T5＝C(－x)4＝70x4.(2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定最小者．即第4项和第6项系数相等且最小，分别为T4＝C(－x)3＝－56x3，T6＝C(－x)5＝－56x5.8．证明：∵32n＋2－8n－9＝9n＋1－8n－94＝(1＋8)n＋1－8n－9＝C＋C·8＋C·82＋C·8

6、3＋…＋C·8n＋C·8n＋1－8n－9＝1＋(n＋1)·8＋C·82＋C·83＋…＋C·8n＋8n＋1－8n－9＝C·82＋C·83＋…＋C·8n＋8n＋1＝82(C＋C·8＋…＋C8n－2＋8n－1)，又∵C＋C·8＋…＋C8n－2＋8n－1是整数，∴32n＋2－8n－9能被64整除．4