函数的奇偶性2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.pptx

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函数的奇偶性 新课程标准核心素养1.理解奇函数、偶函数的概念．数学抽象2.掌握判断某些函数奇偶性的方法．逻辑推理3.掌握奇偶函数的图象特征．直观想象4.会根据概念和图象判断简单函数的奇偶性．逻辑推理 【学法解读】1．学习本节知识要注意结合前面所学的知识，如单调性、函数图象、解析式等，加强它们的联系．2．学生应理解“奇偶性”的实质，也就是图象的对称性：是关于原点的中心对称还是关于y轴的轴对称． 情境引入生活中的对称 在平面直角坐标系中，利用描点法作出函数y=x2和y=2-|x|的图象并观察这两个函数图象，总结出它们的共同特征。x…-3-2-10123…f(x)=x2……9410149xyo123123-1-2-3x…-3-2-10123…f(x)=|x|……-101210-1xyo123123-1-2-3图象关于y轴对称自变量取互为相反数两个数时，函数值相等，即f(-x)=f(x)知识点1函数的奇偶性 偶函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为A，如果对Ɐx∈A，都有-x∈A，且f(-x)=f(x)，即f(x)的图像关于y轴对称，那么就称f(x)为偶函数.偶函数的图象关于y轴对称.思考1：(1)如果定义域内存在x0，满足f(－x0)＝f(x0)，函数f(x)是偶函数吗？不一定，必须对于定义域内的任意一个x都成立(2).x∈A(A为定义域)，-x∈A说明什么？偶函数的定义域关于原点对称. 1.判断下列函数是否为偶函数是不是2.函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是偶函数，则a等于()A．－1B．0C．1D．无法确定 观察函数f(x)=x和f(x)=的图象，并完成下面的两个函数值对应表，你能发现这两个函数有什么共同特征吗？1xxyo123123-1-2-3xyo123123-1-2-3x…-3-2-10123…f(x)=x……-3-2-10123x…-3-2-1123…f(x)=……1x13-12-1312-11 奇函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为A，如果对Ɐx∈A，都有-x∈A，且f(-x)=-f(x)，即f(x)的图像关于原点对称，那么就称f(x)为奇函数.奇函数图象特征：奇函数的图象关于原点对称，反之，一个函数的图象关于原点对称，那么它是奇函数．如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性. 判定函数奇偶性基本方法:①定义法:先看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系.②图象法:看图象是否关于原点或y轴对称.例1：判断下列函数的奇偶性：偶函数偶函数奇函数奇函数奇函数既是奇函数又是偶函数非奇非偶奇函数 图象法奇函数偶函数Oxy0xy0xy0xy0xy0xy 知识点2函数的奇偶性应用题型一奇偶函数图象的应用例1.已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．xyo123123-1-2-3-4-545(2)由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2,5)． 【对点练习】已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．(1)请补全完整函数y＝f(x)的图象；(2)根据图象写出函数y＝f(x)的增区间．(2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)． 题型二利用函数奇偶性求解析式例2.已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3.试求f(x)在R上的表达式．[解析]∵函数f(x)的图象关于原点对称．∴f(x)为奇函数，则f(0)＝0，设x＜0，则－x＞0，∵x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3 已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=，试求f(x)的解析式.2x+1解：设x＜0，则－x＞0，f(x)=f(-x)=2-x+12-x+1x＜0x≥02x+1f(x)=即f(x)=2|x|+1利用奇偶性求函数解析式的关注点(1)“求谁设谁”,即在哪个区间求解析式,x就设在哪个区间内.(2)利用已知区间的解析式代入.(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x). 【跟踪训练】1.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(x-2),则当x<0时,f(x)的解析式为()A.f(x)=x(x-2)B.f(x)=x(x+2)C.f(x)=-x(x-2)D.f(x)=-x(x+2)D2.已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，求x∈(－∞，0)时，f(x)的解析式．[解析]设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1，∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2－x－1.∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2－x－1. 题型三函数奇偶性与单调性的关系角度1：比较大小例3定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意x1,x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，则()A.f(3)0,则当n∈N*时,有()A.f(-n)f()因为f(x)是减函数，且定义域为(－1,1)，利用区间单调性列不等式组 已知定义在[－2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上是减函数，若f(1－m)1或a<－2.C 2．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．(－1，3)3.已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时，f(x)=x2-4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为————————(-5,0)∪(5,+∞)4.偶函数y=f(x)在[0,+∞)上是减函数,且满足f(2x)>f(x+1),则x的取值范围为__________.f(2x)>f(x+1)⇒f(|2x|)>f(|x+1|)⇒|2x|<|x+1|,变形可得:3x2-2x-1<0,(－，1)13 5.已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于()A．－26B．－18C．－10D．10令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)是R上的奇函数，从而g(－2)＝－g(2)，又f(x)＝g(x)－8，∴f(－2)＝g(－2)－8＝10，∴g(－2)＝18，∴g(2)＝－g(－2)＝－18.∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.6.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2.若对任意的x∈[a，a＋2]，不等式f(x＋a)≥2f(x)恒成立，则实数a的取值范围是________________. 已知f(x)，g(x)均为R上的奇函数，且F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在区间(0，＋∞)上的最大值为8，则在区间(－∞，0)上的最小值为______.因为f(x)和g(x)的具体表达式并没有给出，因此应充分利用“f(x)，g(x)均为R上的奇函数”这一条件，构造一个新函数来间接求解．由f(x)，g(x)均为R上的奇函数，知af(x)＋bg(x)为R上的奇函数．由F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上的最大值为8，得F(x)－2＝af(x)＋bg(x)在(0，＋∞)上的最大值为6.根据奇函数的性质可知F(x)－2＝af(x)＋bg(x)在(－∞，0)上的最小值为－6，故F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(－∞，0)上的最小值为－6＋2＝－4. 题型四函数图像的对称性 2.函数f(x)的图像关于点对称若函数f(x)对定义域内任一x，都有(1)f(a－x)＝－f(a＋x)⇔y＝f(x)的图像关于点(a，0)对称；(2)f(x)＝－f(a－x)⇔y＝f(x)的图像关于点(,0)对称；(3)f(a＋x)＝－f(b－x)⇔y＝f(x)的图像关于点(,0)对称a2a+b2 1.已知函数f(x＋1)是偶函数，则函数f(x)的对称轴是．直线x＝12.已知函数f(x＋1)是奇函数，则函数f(x)的对称中心是．(1，0)∵f(x＋1)是奇函数，∴f(-x＋1)=-f(x＋1)，即f(-x＋1)+f(x＋1)=0f(x＋1)表示是f(x)向左平移一个单位3.若函数f(x)＝x2－ax－b满足对于任意的实数x都有f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)的最小值为－2，求实数a，b的值．f(x＋1)=f(1-x)，关于直线x=1对称，且最小值为-2，则f(x)=(x-1)2-2=x2-2x-1，a=2，b=1 已知函数f(x)对于任意的实数x、y，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)(1)求f(0)的值；(2)试判断函数f(x)的奇偶性；(3)若x＞0都有f(x)＞0，试判断函数的单调性．(1).f(0)=0(2)令y=-x，则f(x-x)＝f(x)＋f(-x)=0，奇函数设0