内蒙古自治区乌兰察布市集宁区第二中学2022-2023学年高一上学期期中考试数学 Word版含解析.docx

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内蒙古乌兰察布市集宁区第二中学2022-2023学年高一上学期期中考试数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若、是全集的真子集，则下列五个命题：①；②；③；④；⑤是的必要不充分条件其中与命题等价的有（）A.个B.个C.个D.个【答案】B【解析】【分析】根据韦恩图和集合的交、并、补运算的定义逐一判断可得选项.【详解】解：由得韦恩图：或对于①，等价于，故①正确；对于②，等价于，故②不正确；对于③，等价于，故③正确；对于④，与A、B是全集的真子集相矛盾，故④不正确；对于⑤，是的必要不充分条件等价于BÜA，故⑤不正确，所以与命题等价的有①③，共2个，故选：B.2.有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（）A①③B.②④⑤C.①②⑤⑥D.③④【答案】D【解析】【分析】根据集合相等的定义、子集的定义、空集的性质，结合元素与集合的关系进行判断即可.【详解】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确； 对②：因为集合，故正确，即②正确；对③：空集是一个集合，而集合是以为元素的一个集合，因此，故③不正确；对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确；对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确；对⑥：显然成立，因此⑥正确．综上，本题不正确的有③④，故选：D3.下列说法正确的是A.0与的意义相同B.高一（1）班个子比较高的同学可以形成一个集合C.集合是有限集D.方程的解集只有一个元素【答案】D【解析】【详解】因为0是元素，是含0的集合，所以其意义不相同；因为“比较高”是一个不确定的概念，所以不能构成集合；当时，，故集合是无限集；由于方程可化为方程，所以（只有一个实数根），即方程的解集只有一个元素，应选答案D．4.已知集合，，且，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由得到，建立不等式，即可求出的取值范围．【详解】解：，，且所以，当时，解得；当时， 解得故选：B【点睛】本题考查集合的包含关系，考查解不等式，属于基础题．5.若全集，，，则集合等于（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意结合集合间的运算逐项分析判断．【详解】因为全集，，，因为，，，，，，则集合，故A、B、C错误，D正确.故选：D．6.设，若关于的不等式在上有解，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据不等式等价变形，转化为对勾函数在上的最值，即可求解.【详解】由在上有解，得在上有解，则，由于，而在单调递增，故当时，取最大值为，故， 故选：C7.设，若关于的不等式在上有解，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据不等式等价变形，转化为对勾函数在上的最值，即可求解.【详解】由在上有解，得在上有解，则，由于，而单调递增，故当时，取最大值为，故，故选：C8.已知二次方程的一个根为1，则另一个根为（）A.B.C.2D.4【答案】A【解析】【分析】根据韦达定理可求另外一根．【详解】设另一根为x，由韦达定理可知，，即，故选：A．9.下列各组函数表示同一函数的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】判断函数的定义域与对应法则是否相同即可． 【详解】对于A，，定义域和对应法则不一样，故不为同一函数；对于B，，定义域不同，故不为同一函数；对于C，，定义域和对应法则均相同，故为同一函数：对于D，，定义域不同，故不为同函数．故选：C．10.已知函数则等于（）A.4B.C.D.2【答案】D【解析】【分析】根据分段函数的定义域，先求得，再求即可.【详解】因为函数所以，所以，故选：D11.设，，，则下列说法错误的是（）A.ab的最大值为B.的最小值为C.的最小值为9D.的最小值为【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式证明选项AC正确，D错误；利用不等式证明选项B正确.【详解】因为，，，则，当且仅当时取等号，所以选项A正确；因为， 故，当且仅当时取等号,即最小值，所以选项B正确；，当且仅当且即，时取等号，所以选项C正确；，故，当且仅当时取等号，即最大值，所以选项D错误．故选：D．12.如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象可能为　　A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先求出的解析式，在求其解析式的时候，关键是要根据题中所给的图，对t的取值进行恰当的分类，然后分类讨论，给出分段函数的解析式后，再根据解析式画出函数的图像，求得结果.【详解】分两种情况讨论：（1）当时，可以求得直角三角形的两条直角边分别为， 从而可以求得，（2）当时，阴影部分可以看做大三角形减去一个小三角形，可求得，所以，从而可选出正确的图象，故选A.【点睛】该题所考查的是有关函数图象的选择问题，涉及到的知识点有三角形的面积公式，有关函数解析式的求法，根据解析式选择合适的函数图象，属于中档题目.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.方程的解集为，方程的解集为，已知，则_______________．【答案】【解析】【详解】由，将代入得解得则方程可以化简为，，方程可以化简为，，所以14.若时，的最大值是____________.【答案】-7【解析】【分析】变换，直接利用均值不等式得到答案.【详解】. 当且仅当，即时等号成立.故答案为：15.若，则关于的不等式的解集为__________．【答案】【解析】【分析】由可得，则可求出一元二次不等式的解．【详解】，，则，，或．故答案为：．16.函数的最小值为____________．【答案】【解析】【分析】将函数构造成的形式，用换元法令，在定义域上根据新函数的单调性求函数最小值，之后可得原函数最小值。【详解】由题得，，令，则函数在递增，可得的最小值为，则的最小值为.故答案为：【点睛】本题考查了换元法，以及函数的单调性，是基础题。三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.设全集，集合，.（1）求及； （2）求.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根据集合的交并集运算求解即可；（2）根据集合的补集的运算和交集的运算求解即可.【详解】解：（1）因为，，所以，（2）因，所以，所以.18.已知命题：和命题：（1）若，且和都是真命题，求实数的取值范围.（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由一元二次不等式可得命题：，命题：，即可得解；（2）由命题间的关系转化条件为Ü，即可得解.【详解】不等式即，解得，不等式即，解得，则命题：，命题：，（1）当时，命题：，命题：， 若和都是真命题，则；（2）因为是的充分不必要条件，所以Ü，所以且等号不同时成立，解得，所以实数的取值范围为.19.已知函数．（1）根据定义证明在上为增函数；（2）若对，恒有，求实数的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用函数的单调性的定义，即可作出证明；（2）由（1）得到在是增函数，求得函数的最大值，列出不等式，即可求解.【详解】（1）任取，，且，则因为，所以且，所以．即，即．所以在上是增函数．（2）由（1）可得函数在是增函数，所以． 所以，解得，所以取值范围是．20.比较大小.（1）比较与的大小；（2），，比较与的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）采用作差法比较大小：将减去的结果与比较大小，即可比较出大小关系；（2）采用作差法比较大小：将减去的结果与比较大小，即可比较出大小关系.【详解】（1）因为，又，所以，所以；（2）因，又，，所以，所以21.已知非空集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由交集、补集的运算求解即可；（2）转化为集合间关系后列式求解.【小问1详解】当时，，，则或,；【小问2详解】是非空集合，“”是“”的充分不必要条件，则是Q的真子集，所以且与不同时成立，解得，故a的取值范围是.22.设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2，3）；（2）（1，2]．【解析】【分析】先由p、q分别解出对应的不等式：（1）若a＝1，且p∧q为真，取交集，求出x的范围；（2）由p是q的必要不充分条件，得到两个解集的包含关系，求出a的范围.【详解】解：p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，解得a＜x＜3a．命题q：实数x满足．化为，解得，即2＜x≤3．（1）a＝1时，p：1＜x＜3． p∧q为真，可得p与q都为真命题，则，解得2＜x＜3．实数x的取值范围是（2，3）．（2）∵p是q的必要不充分条件，∴，又a＞0，解得1＜a≤2．∴实数a的取值范围是（1，2]．【点睛】结论点睛：有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：(1)若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；(2)若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；(3)若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；(4)若是的既不充分又不必要条件，对应集合与对应集合互不包含．