重庆市第八中学校2022-2023学年高二下学期期末数学 Word版含解析.docx

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重庆八中2022—2023学年度高二年级（下）期末考试数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出集合、，利用补集和交集的定义可求得结果.【详解】因为，则或，因此，.故选：D.2.已知圆，则圆关于点对称的圆的方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】圆关于点对称只是圆心的位置发生了变化，因此只需求圆心关于点对称后的坐标即可解决.【详解】圆的圆心为，半径为，关于对称的点为，圆对称后只是圆心位置改变，圆的半径不会变化，仍为，因此所求的圆的方程为.故选：D3.古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自信，五日织五尺，问日织几何？“ 意思是：一女子善于织布，每天织的布是前一天的2倍，已知5天共织布5尺，问该女子每天分别织布多少？按此条件，若织布的总尺数不少于25尺，该女子需要的天数至少为（）A.7B.8C.9D.10【答案】B【解析】【分析】设女子第一天织布尺，则数列是公比为2的等比数列，由题意得，解得，即可得到，再解不等式即可．【详解】设女子第一天织布尺，则数列是公比为的等比数列，由题意得，解得，，解得，因为，，该女子所需的天数至少为天．故选：B4.已知正三棱锥的底面边长为6，高为3，则该三棱锥的表面积是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】画出图形，求出底面积和侧面积，即可求出三棱锥的表面积.【详解】如图，正三棱锥中，为正三棱锥的高，则，取的中点，连接，，则在上，且，又，，所以，所以，则，所以，故三棱锥的表面积为. 故选：B5.下列说法中正确的是（）A.“与是对立事件”是“与互为互斥事件”的必要不充分条件B.已知随机变量服从二项分布，则C.已知随机变量服从正态分布且，则D.已知随机变量的方差为，则【答案】C【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断A，根据二项分布的期望公式判断B，根据正态分布的性质判断C，根据方差的性质判断D.【详解】对于A：若与是对立事件，则与是互斥事件，故充分性成立，若与是互斥事件得不到与是对立事件，故必要性不成立，所以“与是对立事件”是“与互为互斥事件”的充分不必要条件，故A错误；对于B：已知随机变量，则，故B错误；对于C：因为随机变量，，所以，所以，故C正确；对于D：，故D错误；故选：C 6.设函数的定义域为R，是其导函数，若，，则不等式的解集是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，由的单调性求解，【详解】构造函数，则，故在R上单调递增，，可化为，故原不等式的解集为，故选：B7.用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域、、、、涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（）A.120种B.720种C.840种D.960种【答案】D【解析】【分析】本题根据分步乘法计数原理结合排列直接求解即可.【详解】法一：有5种颜色可选，有4种颜色可选，有3种颜色可选，若同色，有4种颜色可选；若同色，有4种颜色可选；若与、都不同色，则有2种颜色可选，此时有4种颜色可选，故共有种． 法二：当使用5种颜色时，有种涂色方法；当使用4种颜色时，必有两块区域同色，可以，，，，，共有种涂色方法；当使用3种颜色时，只能是同色且同色，同色且同色，同色，同色，共有种涂色方法，∴共有种涂色方法.故选：D.【点睛】本题即可用分步乘法计数原理完成，也可用分类加法计数原理来完成，还考查分析推理能力，是中档题.8.已知函数，，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数a的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设函数，的切点坐标分别为，，根据导数几何意义可得，，即该方程有两个不同的实根，则设，求导确定其单调性与取值情况，即可得实数a的取值范围.【详解】解：设函数上的切点坐标为，且，函数上的切点坐标为，且，又，则公切线的斜率，则，所以，则公切线方程为，即，代入得：，则，整理得，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则方程有两个不同的实根，设，则，令得， 当时，，单调递增，时，，单调递减，又可得，则时，；时，，则函数的大致图象如下：所以，解得，故实数a的取值范围为.故选：B.【点睛】本题考查了函数的公切线、函数方程与导数的综合应用，难度较大.解决本题的关键是，根据公切线的几何意义，设切点坐标分别为，且，，且，可得，即有，得公切线方程为，代入切点将双变量方程转化为单变量方程，根据含参方程进行“参变分离”得，转化为一曲一直问题，即可得实数a的取值范围.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.已知，，，下列说法正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根据基本不等式即可判断ABD,由乘“1”法即可判断C.【详解】，，且，对于A，，，由基本不等式可得，，，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，，当且仅当时，等号成立，故，故B 正确．对于C，，当且仅当时，等号成立，故C正确；对于D，，，所以，故D错误，故选：ABC10.少年强则国强，少年智则国智，党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质，为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（）A.样本的众数为65B.该校学生中低于65kg的学生大约为1200人C.样本的第80百分位数为72.5D.样本的平均值为66.75【答案】BCD【解析】【分析】由频率分布直方图得众数，百分位数，平均数后判断【详解】对于A，样本的众数为67.5，故A错误，对于B，该校学生中低于65kg的学生大约为，故B正确，对于C，体重位于的频率为，体重位于的频率为，故第80百分位数位于，设其为，则，得，故C正确，对于D，样本的平均值为，故D正确，故选：BCD11.已知函数，，则下列结论正确的是（） A.当时，函数在处的切线方程为B.当时，不等式恒成立C.当时，有极小值D.若在区间上单调递增，则【答案】AB【解析】【分析】对于A，利用导数的几何意义求解即可；对于C，利用导数分析判断的单调性即可判断；对于BD，利用选项C中结论，取可得的单调性与最大值，从而得以判断.【详解】对于A，当时，，则，故，，所以在处的切线方程为，即，故A正确；对于C，因，则，当时，令，得；令，得；所以在上单调递增，在上单调递减，故有极大值，没有极小值，故C错误；对于B，由选项C可知，当时，在处取得唯一极大值，即最大值，故当时，，，所以，即恒成立，故B正确；对于D，由选项C可知，当时，在上单调递增，在上单调递减，所以在区间上不单调递增，故D错误.故选：AB. 12.已知数列满足，，，为数列的前项和，则下列说法正确的有（）A.B.C.D.的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】根据递推关系式可求得为奇数和为偶数时通项公式，进而确定，知AB正误；由可确定C正确；分别讨论和时，的通项公式，结合二次函数性质可确定D正确.【详解】对于A，当为奇数时，，又，，则，A正确；对于B，当为偶数时，，又，；由A知：当为奇数时，；则当为偶数时，；当为奇数时，；，B错误；对于C，，C正确；对于D，当时，，当为偶数时，；当为奇数时，；当时，，当为偶数时，；当为奇数时，； 综上所述：，D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查根据数列递推关系式求解通项公式、前项和的问题，解题关键是能够根据递推关系式确定数列奇偶项所满足的关系，进而通过对于的取值的讨论求得通项公式.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应位置上）13.6的二项展开式中的常数项为___________.【答案】60【解析】【分析】写出二项展开式的通项，令的指数等于零，即可得出答案.【详解】解：6的二项展开式的通项为，令，则，所以6的二项展开式中的常数项为.故答案为：60.14.甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为.乙命中目标的概率为，已知目标至少被命中次，则甲命中目标的概率为__________.【答案】##【解析】【分析】计算得到目标至少被命中次概率、目标至少被命中次且甲命中目标的概率，由条件概率公式可求得结果.【详解】记事件为“甲命中目标”，事件为“目标至少被命中次”，则，，.故答案为：.15.已知点B1，B2分别是双曲线虚轴的两个顶点，过B1且垂直于y轴的直线与双曲线交于P，Q两点，若为正三角形，则该双曲线的离心率e为__________. 【答案】【解析】【分析】根据条件解出点坐标，利用正三角形的边角关系建立等式，得到之间的关系即可解出答案.【详解】如图所示，依题意点纵坐标为，把代入双曲线方程可得所以点的坐标为，又中，则故答案为：16.已知数列的首项，，，记，若，则正整数的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】根据递推公式，通过构造数列法求得，再利用等比数列的前项和公式，求得，再解不等式即可.【详解】因为，所以，所以， 又，所以，所以数列为等比数列，所以，所以，所以，若，则，所以，故正整数的最大值为，故答案为：.【点睛】本题考查通过构造数列法求通项公式，以及利用公式法求等比数列的前项和，属中档题.四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤）17.已知等差数列的首项，记的前n项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列公差，令，求数列的前n项和.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）由等差数列的性质代入方程解出，然后得通项公式，（2）由裂项相消法求解，【小问1详解】由题意得，原方程可化为，解得，，由得的通项公式或【小问2详解】数列公差，则， 18.某新能源汽车公司对其产品研发投资额x（单位：百万元）与其月销售量y（单位：千辆）的数据进行统计，得到如下统计表和散点图.x12345y0.691.611.792.082.20（1）通过分析散点图的特征后，计划用作为月销售量y关于产品研发投资额x的回归分析模型，根据统计表和参考数据，求出y关于x的回归方程；（2）公司决策层预测当投资额为11百万元时，决定停止产品研发，转为投资产品促销.根据以往的经验，当投资11百万元进行产品促销后，月销售量的分布列为：345Pp结合回归方程和的分布列，试问公司的决策是否合理.参考公式及参考数据：，，.y0.691.611.792.082.20（保留整数）25689【答案】（1）；（2）公司的决策合理. 【解析】【分析】（1）令，可得，根据公式求出关于x的回归方程，从而可得y关于x的回归方程；（2）当时，，根据分布列的性质求出，从而可得，与比较即可得结论.【小问1详解】因为，令，所以.由题可得，，则，，所以，所以回归方程为.【小问2详解】当时，.因为且，所以，所以,所以公司的决策合理.19.如图，在三棱柱中，底面ABC是边长为8的等边三角形，，，，D在上且满足.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面夹角的正弦值.【答案】（1）证明过程见解析（2） 【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为正方形，从而得到⊥，再由三角形全等得到，所以⊥，从而证明线面垂直，证明面面垂直；（2）先证明线面垂直，再建立空间直角坐标系，得到点的坐标，利用空间向量余弦夹角公式求出两个平面夹角的余弦值，进而求出正弦值.【小问1详解】过点作交于点，连接交于点，连接，因为，所以四边形为平行四边形，因为，所以，因为，所以，因为，，所以四边形为正方形，故，⊥，由勾股定理得，且，因为，，所以≌，故，所以⊥，因为，平面，所以⊥平面，因为平面，所以平面平面.【小问2详解】因为⊥，，由勾股定理得，又，由勾股定理逆定理可得⊥，因为，平面，所以⊥平面， 取中点，的中点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，解得，令得，所以，设平面的法向量为，则，令，解得，故，设平面与平面夹角为，则，因为所以平面与平面夹角的正弦值为，20.某公司在一次年终总结合上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入个红球和个白球（球的取状和大小都相同），抽奖规则如下：从袋中一次性摸出个球，把白球换成红球再全部放回袋中，设此时袋中红球个数为，则每位员工颁发奖金万元.（1）求的分布列与数学期望； （2）若企业有1000名员工，他们为企业贡献的利润近似服从正态分布，为各位员工贡献利润数额的均值，计算结果为万元，为数据的方差，计算结果为万元，为激励为企业做出突出贡献的员工，现决定该笔奖金只有贡献利润大于万元的员工可以获得，且用于奖励的总奖金按抽奖方案所获奖金的数学期望值计算，求获奖员工的人数及每人可以获得奖金的平均数值（保留到整数）.参考数据：若随机变量服从正态分布，则，.【答案】（1）分布列见解析，（2）人，万元【解析】【分析】（1）依题意可得的可能取值为，，，，求出所对应的概率即可得到分布列与数学期望；（2）由（1）求出奖金总金额，根据正态分布求出概率，即可估计人数，与每人可以获得奖金的平均数值.【小问1详解】依题意可得的可能取值为，，，，则，，，，∴的分布列为：3456∴.【小问2详解】由（1）可知给员工颁发奖金的总数为（万元），设每位职工为企业的贡献利润数额为，则，所以获得奖金的职工数约为 （人），则获奖员工可以获得奖金的平均数值为（万元）.21.已如右焦点为，是椭圆上关于原点对称的两个动点，当点的坐标为时，的周长恰为.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于两点，且，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）引入左焦点，根据椭圆的定义可以得出四边形的周长为，由对称性可找出四边形的周长和的周长的关系，结合椭圆所过的点来求方程；（2）设出直线方程，利用弦长公式和点到直线的距离公式表示出面积后求解.【小问1详解】 由题意，，于是，设椭圆的左焦点为，由，故四边形为平行四边形，于是，由椭圆的定义：，于是，解得，而椭圆经过，故，结合可解得，故椭圆方程为：【小问2详解】 由于，平行线间距离处处相等，故到的距离可转化为到的距离.的斜率不会是，如果为，则和轴重合，过原点的直线要想平行，此时也和轴重合，那么不存在，不符题意；当斜率不存在时，即轴，此时落在轴上，易知，则，中边上的高的长等于，故；当斜率存在且不为时，椭圆的右焦点，设直线：，和椭圆方程联立得到：，直线经过椭圆内的交点，于是必和椭圆相交，设，根据弦长公式，，中边上的高的长等于到的距离，即，于是， 由韦达定理：，故，考察，由于，则，此时.于是综上所述，面积最大值为.22.已知函数.（1）求的单调区间；（2）若函数的最小值为0，求实数k的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）通过对求导，利用导数与函数间的关系即可求出单调区间；（2）正难则反，通过条件将问题转化成对恒成立，再利用及放缩法求最值，注意取值条件，即可求出结果.【小问1详解】由解析式知，因为，则，当时，在上恒成立，当时，由，得， 当，当，综上，当，的单调增区间为，无减区间；当时，的单调增区间为，减区间为.【小问2详解】因为，当趋向时，趋向，趋向，当趋向时，趋向，趋向，又的最小值为0，在定义域内，考虑反面：对恒成立.由，得到，化简得，设，令，则在上恒成立，在上递增，所以，故，当且仅当时取等号，令，则在上恒成立，即在上递增，又，，存在，使，综上，即，所以，要使，故实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：利用正难则反的思想，将问题转化成：考虑反面对恒成立，从而将问题转化成恒成立问题来求解.