2021年高中数学文科全国卷甲卷乙卷（卷一卷二）合集

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2021年高中数学文科全国卷甲卷乙卷（卷一卷二）合集2021年高中数学文科全国卷甲卷试卷和答案2021年高中数学文科全国卷乙卷试卷与答案2021年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A.B.C.D.2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

1根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间3.已知，则（）A.B.C.D.4.下列函数中是增函数的为（）A.B.C.D.5.点到双曲线一条渐近线的距离为（）A.B.C.D.6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9

2，则其视力的小数记录法的数据为（）（）A.1.5B.1.2C.0.8D.0.67.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）A.B.C.D.8.在中，已知，，，则（）A.1B.C.D.39.记为等比数列前n项和.若，，则（）A.7B.8C.9D.1010.将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A.0.3B.0.5C.0.6D.0.811.若，则（）A.B.C.D.12.设是定义域为R的奇函数，且.若，则

3（）A.B.C.D.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若向量满足，则_________.14.已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________.15.已知函数的部分图像如图所示，则_______________.16.已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．三､解答题：共70分.解答应写出交字说明､证明过程程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200

4合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?（2）能否有99%把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818.记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.19.已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，.（1）求三棱锥的体积；（2）已知D为棱上的点，证明：.20.设函数，其中.（1）讨论的单调性；

5（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.21.抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．（1）求C，方程；（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．(二)选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出Р的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数．（1）画出和的图像；（2）若，求a的取值范围．

6绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出集合后可求.【详解】，故，故选：B.2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

7根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【答案】C【解析】【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为

8(万元)，超过6.5万元，故C错误.综上，给出结论中不正确的是C.故选：C.【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于.3.已知，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由已知得，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】，.故选：B.4.下列函数中是增函数的为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.对于B，为上的减函数，不合题意，舍.

9对于C，在为减函数，不合题意，舍.对于D，为上的增函数，符合题意，故选：D.5.点到双曲线的一条渐近线的距离为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，结合对称性，不妨考虑点到直线距离：.故选：A.6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（）A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6【答案】C【解析】【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.【详解】由，当时，，则.故选：C.7.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）

10A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.【详解】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，所以其侧视图为故选：D8.在中，已知，，，则（）A.1B.C.D.3

11【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.【详解】设，结合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故选：D.【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型：(1)已知三角形的三条边求三个角；(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．9.记为等比数列的前n项和.若，，则（）A.7B.8C.9D.10【答案】A【解析】【分析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.【详解】∵为等比数列的前n项和，∴，，成等比数列∴，∴，∴.故选：A.10.将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

12【答案】C【解析】【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：，共6种方法，故2个0不相邻的概率为，故选：C.11.若，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】，，，，解得，，.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.

1312.设是定义域为R的奇函数，且.若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.【详解】由题意可得：，而，故.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若向量满足，则_________.【答案】【解析】【分析】根据题目条件，利用模的平方可以得出答案【详解】∵∴∴.故答案为：.14.已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________.

14【答案】【解析】【分析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.【详解】∵∴∴∴.故答案为：.15.已知函数的部分图像如图所示，则_______________.【答案】

15【解析】【分析】首先确定函数的解析式，然后求解的值即可.【详解】由题意可得：，当时，，令可得：，据此有：.故答案为：.【点睛】已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.16.已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．【答案】【解析】【分析】根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解.【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，设，则，

16所以，，即四边形面积等于.故答案为：.三､解答题：共70分.解答应写出交字说明､证明过程程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）75%；60%；（2）能.【解析】【分析】根据给出公式计算即可【详解】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为,

17乙机床生产的产品中的一级品的频率为.（2）,故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.18.记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.【答案】证明见解析.【解析】【分析】先根据求出数列的公差，进一步写出的通项，从而求出的通项公式，最终得证.【详解】∵数列等差数列，设公差为∴，∴，∴当时，当时，，满足，∴的通项公式为，∴∴是等差数列.【点睛】在利用求通项公式时一定要讨论的特殊情况.19.已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，.

18（1）求三棱锥的体积；（2）已知D为棱上的点，证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得AC的长度，然后利用体积公式可得三棱锥的体积；(2)将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面垂直可得题中的结论.【详解】(1)如图所示，连结AF，由题意可得：，由于AB⊥BB1，BC⊥AB，，故平面，而平面，故，

19从而有，从而，则，为等腰直角三角形，，.(2)由(1)结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体，如图所示，取棱的中点，连结，正方形中，为中点，则，又，故平面，而平面，从而.【点睛】求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．对于空间中垂直关系（线线、线面、面面）的证明经常进行等价转化.20.设函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.

20【解析】【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）根据及（1）的单调性性可得，从而可求a的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为，又，因为，故，当时，；当时，；所以的减区间为，增区间为.（2）因为且的图与轴没有公共点，所以的图象在轴的上方，由（1）中函数的单调性可得，故即.【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.21.抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．（1）求C，的方程；（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．【答案】（1）抛物线，方程为；（2）相切，理由见解析【解析】【分析】（1）根据已知抛物线与

21相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出坐标，由，即可求出；由圆与直线相切，求出半径，即可得出结论；（2）先考虑斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若斜率存在，由三点在抛物线上，将直线斜率分别用纵坐标表示，再由与圆相切，得出与的关系，最后求出点到直线的距离，即可得出结论.【详解】（1）依题意设抛物线，，所以抛物线的方程为，与相切，所以半径为，所以的方程为；（2）设若斜率不存在，则方程为或，若方程为，根据对称性不妨设，则过与圆相切的另一条直线方程为，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；若方程为，根据对称性不妨设则过与圆相切的直线为，又，，此时直线关于轴对称，所以直线与圆相切；若直线斜率均存在，

22则，所以直线方程为，整理得，同理直线的方程为，直线的方程为，与圆相切，整理得，与圆相切，同理所以为方程的两根，，到直线的距离为：，所以直线与圆相切；综上若直线与圆相切，则直线与圆相切【点睛】关键点点睛：（1）过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；（2）要充分利用的对称性，抽象出与关系，把的关系转化为用表示.

23(二)选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出Р的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点．【答案】（1）；（2）P的轨迹的参数方程为（为参数），C与没有公共点.【解析】【分析】（1）将曲线C的极坐标方程化为，将代入可得；（2）设，设，根据向量关系即可求得P的轨迹的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.【详解】（1）由曲线C的极坐标方程可得，将代入可得，即，即曲线C的直角坐标方程为；（2）设，设，，则，即，

24故P的轨迹的参数方程为（为参数）曲线C的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为2，则圆心距为，，两圆内含，故曲线C与没有公共点.【点睛】关键点睛：本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出的参数坐标，利用向量关系求解.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数．（1）画出和的图像；（2）若，求a的取值范围．【答案】（1）图像见解析；（2）【解析】【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；（2）根据函数图像数形结和可得需将向左平移可满足同角，求得过时的值可求.

25【详解】（1）可得，画出图像如下：，画出函数图像如下：（2），如图，同一个坐标系里画出图像，是平移了个单位得到，则要使，需将向左平移，即，

26当过时，，解得或（舍去），则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）数学（文）一､选择题1.已知全集，集合，，则（)A.B.C.D.2.设，则（）A.B.C.D.3.已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是（）A.B.C.D.

274.函数的最小正周期和最大值分别是（）A.和B.和C.和D.和5.若满足约束条件则的最小值为（）A.B.C.D.6.（）A.B.C.D.7.在区间随机取个数，则取到的数小于的概率为（）A.B.C.D.8.下列函数中最小值为的是（）A.B.C.D.9.设函数，则下列函数中为奇函数的是（）A.B.C.D.10.在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为A.B.

28C.D.11.设是椭圆:的上顶点，点在上，则的最大值为A.B.C.D.12.设，若为函数的极大值点，则A.B.C.D.二、填空题13.已知向量，，若，则.14.双曲线的右焦点到直线的距离为.15.记的内角，，的对边分别为，，，面积为，,，则.16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为

29和.（1）求，，，；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.18.如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且.（1）证明：平面平面﹔（2）若，求四棱锥的体积.19.设是首项为的等比数列，数列满足.已知，，，成等差数列.（1）求和的通项公式；（2）记，和分别为和的前项和.证明：.20.已知抛物线：的焦点到准线的距离为.（1）求的方程，（2）已知为坐标原点，点在上，点满足，求直线斜率的最大值.21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标.

3022.在直角坐标系中，的圆心为，半径为.（1）写出的一个参数方程;（2）过点作的两条切线.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程.23.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围.2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）数学（文）一､选择题1.已知全集，集合，，则（)A.B.C.D.2.设，则（）A.B.C.D.3.已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是（）A.B.

31C.D.答案：A解析：根据正弦函数的值域，，故，为真命题，而函数为偶函数，且时，，故，恒成立.则也为真命题，所以为真，选A.4.函数的最小正周期和最大值分别是（）A.和B.和C.和D.和答案：C解析：，.故选C.5.若满足约束条件则的最小值为（）A.B.

32C.D.答案：C解析：根据约束条件可得图像如下，的最小值，即，轴截距最小值.根据图像可知过点时满足题意，即.6.（）A.B.C.D.答案：D解析：∴选D.7.在区间随机取个数，则取到的数小于的概率为（）

33A.B.C.D.答案：B解析：在区间随机取个数，可知总长度，取到的数小于，可知取到的长度范围，根据几何概型公式，∴选B.8.下列函数中最小值为的是（）A.B.C.D.答案：C解析：对于A，.不符合，对于B，，令，∴，根据对勾函数不符合，对于C，，令，

34∴，当且仅当时取等，符合，对于D，，令，.根据对勾函数，不符合.9.设函数，则下列函数中为奇函数的是（）A.B.C.D.答案：B解析：，向右平移一个单位，向上平移一个单位得到为奇函数.所以选B.10.在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为A.B.C.D.答案：D解析：做出图形，，所以为异面直线所成角，设棱长为.

35，，，.，即，故选D.11.设是椭圆:的上顶点，点在上，则的最大值为A.B.C.D.答案：A解析：方法一：由，则的参数方程：..∴，故选A.

36方法二：设，则①，.因此②将①式代入②式化简得：，当且仅当时的最大值为，故选A.12.设，若为函数的极大值点，则A.B.C.D.答案：D解析：当时，原函数先增再减后增.原函数在的较小零点时取得极大值.即，即，∴.当时，原函数先减再增后减.原函数在的较大零点时取得极大值.即，，，故选D.二、填空题13.已知向量，，若，则.答案：解析：

37由已知可得.14.双曲线的右焦点到直线的距离为.答案：解析：的右焦点为，到直线的距离.15.记的内角，，的对边分别为，，，面积为，,，则.答案：解析：由面积公式，且，解得，又由余弦定理，，且解得.16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.答案：②⑤或③④

38解析：由高度可知，侧视图只能为②或③.侧视图为②，如图（1），平面平面，，，，俯视图为⑤.俯视图为③，如图（2），平面，，，，俯视图为④.17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和.（1）求，，，；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果

39，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.答案：见解析解析：；..（2）.∵则，所以可判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高；没有显著提高.18.如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且.（1）证明：平面平面﹔（2）若，求四棱锥的体积.

40答案：见解析解析：19.设是首项为的等比数列，数列满足.已知，，，成等差数列.（1）求和的通项公式；（2）记，和分别为和的前项和.证明：.答案：见解析解析：设的公比为，则，因为，，成等差数列，所以，解得，故，.又，则，两边同乘，则，两式相减，得，即，

41整理得，，故.20.已知抛物线：的焦点到准线的距离为.（1）求的方程，（2）已知为坐标原点，点在上，点满足，求直线斜率的最大值.答案：见解析解析：（1）由焦点到准线的距离为，则.抛物线的方程：.（2）设点，，.∵.∴则.∴直线斜率的最大值为.21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标.

42答案：见解析解析：（1）（i）当，即时，恒成立，即在在上单调递增.（ii）当，即时，解得，，.∴在，单调递增，在单调递减，综上所述：当时，在上单调递增；当时，在单调递减.（2）设可原点切线的切点为，切线斜率.又，可得.化简得，即.∴切点为，斜率，切线方程为，将，联立可得，化简得，解得，.∴过原点的切线与公共点坐标为，.22.在直角坐标系中，的圆心为，半径为.（1）写出的一个参数方程;（2）过点作的两条切线.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，

43求这两条切线的极坐标方程.答案：见解析解析：（1）的参数方程为（为参数）（2）的方程为①当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线距离为，舍去；②当直线斜率存在时，设直线方程为，化简为，此时圆心到直线的距离为，化简得，两边平方有，所以代入直线方程并化简得或化为极坐标方程为或.23.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围.答案：见解析解析：当时，，当时，不等式，解得；当时，不等式，解得；

44当时，不等式，解得.综上，原不等式的解集为.（2）若，即，因为（当且仅当时，等号成立），所以，所以，即或，解得.