《平面与平面垂直(1)》示范公开课教学课件【高中数学北师大】

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第六章立体几何初步6.5.2平面与平面垂直(1)

11.理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小；2.理解两平面垂直的定义，掌握平面与平面垂直的性质定理及其应用；3.通过对二面角和平面与平面垂直定义的理解，培养学生数学抽象素养；4.通过应用平面与平面垂直的性质定理，培养学生逻辑推理素养．二面角的概念及求法，面面垂直的定义和性质定理．面面垂直的性质定理的应用.

2观察下列图片，这些图片都给我们什么样的印象呢？平面与平面相交

3随着门的开启，其所在平面与墙所在平面的相交程度在变，怎样描述这种变化呢？一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面.如图，以直线AB（l）为棱、半平面为面的二面角，记作二面角或.引入平面与平面的夹角——二面角

4日常生活中，我们常说：“把门开的大一些”是指哪个角大一些？如图，∠AOB、∠CDE等.受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢？用平面角的大小来刻画二面角的大小.以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角称为二面角的平面角.如图中的∠AOB就是二面角的平面角.平面角是直角的二面角称为直二面角.AOBCDE

5两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与垂直，记作.教室的墙面与地面构成二面角，分别指出构成二面角的面、棱、平面角及其度数.二面角的面：墙面和地面；二面角的棱：墙面和地面的交线；二面角的平面角：AOB

6OBAlO′B′A′（1）如图，∠AOB是二面角的平面角，在l上任取一异于O的点O′，分别作A′O′和B′O′与l垂直，∵A′O′⊥l，AO⊥l，∴AO∥A′O′，同理BO∥B′O′.又∠AOB与∠A′O′B′方向相同，∴∠AOB=∠A′O′B′.故二面角的平面角的大小，与棱上点的选择无关.（1）二面角的平面角的大小，与棱上点的选择是否有关？（2）二面角的棱与其平面角所在平面之间是什么关系？（3）二面角的取值范围是多少？

7OBAl（2）如图，∠AOB是二面角的平面角，∴AO⊥l，BO⊥l，又，∴l⊥平面ABO.（3），.当平面角为时，两半平面重合；当平面角为时，两半平面共面，组成了一整个平面.（1）二面角的平面角的大小，与棱上点的选择是否有关？（2）二面角的棱与其平面角所在平面之间是什么关系？（3）二面角的取值范围是多少？

8l不妨设黑板所在平面为，地面所在平面为，它们的交线为l.显然，.m在平面内作直线m⊥l，则m⊥.在教室里，黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？怎么画？

9如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，直线A1A垂直于其交线AD，那么直线A1A与平面ABCD垂直吗？平面A1ADD1内还有哪些直线与平面ABCD垂直？垂直D1D其它与AD垂直的直线两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.你能证明你的猜想吗？

10证明：在平面内作直线BC⊥MN，则∠ABC是二面角的平面角.∵，∴∠ABC=90°，即AB⊥BC.又，∴.CMNAB已知：求证：.

11两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.若，则.符号语言平面与平面垂直的性质定理MNAB“线面垂直”“面面垂直”①②③缺一不可

12如图，山坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是60°，山坡上有一条直道CD，它和坡脚的水平线AB的夹角是30°，沿这条路上山，行走100m后升高多少米？（精确到0.1m）如图，过D作DH垂直于过BC的水平面，点H为垂足，则线段DH的长度就是所求的高度.在平面DBC内，过点D作BC的垂线，垂足为点G，连接GH，再根据三角函数知识求解即可.H

13如图，山坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是60°，山坡上有一条直道CD，它和坡脚的水平线AB的夹角是30°，沿这条路上山，行走100m后升高多少米？（精确到0.1m）H解：在平面DBC内，过点D作BC的垂线，垂足为点G，过点D作DH垂直于过BC的水平面，垂足为H，连接GH.∵，∴又，∴.又，∴.∴∠DGH就是坡面DGC与水平平面BCH所成的二面角的平面角，∠DGH=60°.∴即沿直道前进100m，升高约43.3m.

14如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，MN在平面B1BCC1内，MN⊥BC于点M，判断MN与AB的位置关系，并说明理由.解：由题意可知，，交线为BC.∵，且，∴.又，∴.猜想面面垂直的性质定理

15证明：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.证明：假设，如图，设，过点在平面内作直线.∴.已知，这与“过一点只有一条直线与平面垂直”矛盾，∴不成立.即.根据题意写成数学语言并作图，然后求证.已知：如图，求证：n面面垂直的性质定理直接证明不好证，可采用反证法.c

16已知m、n、l是直线，、是平面，，，，，，则直线m与n的位置关系是（）A.异面B.相交但不垂直C.平行D.相交且垂直lnm①②③④∵，∴，又，∴m∥n证明：C

17已知两个平面垂直，下列命题错误的有.①一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.①③④解：一个平面内只有垂直于交线的直线和另一平面垂直，才和另一个平面内的任意一条直线垂直，故①③错误；过一个平面内任意一点作交线的垂线，若点在交线上时，作交线的垂线，则垂线不一定在平面内，此垂线不一定垂直于另一个平面，故④错误.因为另一个平面内有无数条平行直线垂直于该平面，都与该直线垂直，故②正确；

18如图，在直二面角中，AC和BD分别在平面和上，它们都垂直于AB，且AB=4，AC=6，BD=8，则CD=.连接BC，由面面垂直的性质定理可知DB⊥平面，故△ABC和△CBD都是直角三角形，再由勾股定理计算即可.ADBC连接BC，∵AC⊥AB，∴，在直二面角中，∵BD⊥AB，∴BD⊥平面，∴BD⊥BC，∴解：

19在三棱锥P-ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，且CA=CB.（1）证明：BC∥平面PDE；（2）若平面PCD⊥平面ABC，证明：AB⊥PC.（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE∥BC，又，∴BC∥平面PDE.BC∥平面PDEBC∥DED、E分别为AB、AC的中点ADBCEP

20在三棱锥P-ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，且CA=CB.（1）证明：BC∥平面PDE；（2）若平面PCD⊥平面ABC，证明：AB⊥PC.∵CA=CB，D为AB中点，AB⊥CD，又平面PCD⊥平面ABC，，∴AB⊥平面PCD，又，∴AB⊥PC.（2）证明：AB⊥PCAB⊥平面PCD平面PCD⊥平面ABCADBCEP

21课堂小结2、以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角称为二面角的平面角.1、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面.

22课堂小结3、面面垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.4、面面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.若，则.符号语言①②③缺一不可

23教材第233页练习第1、2、4题．

24谢谢大家！敬请各位老师提出宝贵意见！

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