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佳木斯大学授课教案（2009〜2010学年第1学期）课程名称：线性代数年级：2008级教研室大学数学第一教研室任课教师佳木斯大学教务处制
1使用说明一、从本学期起，一律使用电子教案并自行打印。字体一律使用“五号”字，用A4纸打印。授课教案书写不得空项，每次课的授课教案按90分钟设计。二、学生名单应在上课前填写任课班级学生姓名，在每次上课时记录学生出席情况。三、课程授课情况及总结应在课程全部结束后一周内全部填写完整。四、考勤符号：a)△事假。病假x旷课b)/迟到①早退五、课程教学评价是在完成全部教学任务及试卷分析基础上，对本课程的教师水平、教学条件、教学效果、课内外活动等项内容的全面分析，特别是要结合本门学科的新知识、新技术、新进展及学生的智力水平进行分析，以促进本门课程的教学改革，提高教学质量。
2佳木斯大学授课教案课程名称：线性代数授课教师邢志红授课对象08级材料成型、铸造专业授课时间09.8.263-4节（计90min）授课题目§1、1二阶与三阶行列式§1、2全排列及逆序数§1、3n阶行列式定义课型理论课使用教具常规教学教学目的1.会用对角药2.通过给nV泞去则计算2阶和3阶行列式r行列式定义，逐步培养学生的抽象思维能力教学重点和难点重点：n阶行列式定义难点：n阶行列式定义参考教材1.《线性代数》，程铭东，舒和智编。科学出版社，2005年；2.《线性代数同步测试》，谢延波主编，东北大学出版社。教学内容时间分配及备注
3一、引言（线性代数发展简介）2分钟、、二阶与三阶行列式定义对角线法则：只对2阶和3阶行列式适用5分钟20分钟四、—）二阶:。=D=二）三阶计算排列的逆J一）全排列：二）逆序和逆/三）奇排列和彳四）总结三阶彳a\\。12a2\a22a3Ia32字数的方之于数；禺排列；亍列式的牛=〃13。23。33h手点）=。11422。33+012023a31+〃］3。21。32-%3022a31-%2a21a33-。］］。23。32F加以推广3分钟5分钟2分钟2分钟五、n阶行列式D=—）n阶行3列式出％定义a\\a\2・•,a
4a2\a22,一a2nan\an2***ann可式定义是重点，也t,通过观察与归纳=Z（T）'《f••明”（PW2…p”）是难点。其处理方法是：从二阶与三阶行利用全排列及逆序数，逐步引出n阶行8分钟5分钟列式定义二）行列式的定义中应注意两点：5分钟1.和式中的任一项是取自。中不同行、不同列的〃个元素的乘积。由排列知识可知，。中这样的乘积共有〃!项。2.和式中的任一项都带有符号f为排列（PR2…p"）的逆序数，即当P/2…P”是偶排列时，对应的项取正号；当P1P2…P“。
5是奇排列时，对应的项取负号。六、例题讲解及练习七、小结八、本授课单元思考题、讨论题、作业：—)作业：1(1),2(5)二)思考题：1.对角线法则适用于几阶行列式？2.怎样理解n阶行列式定义？28分钟2分钟1分钟2分钟课后小结
6佳木斯大学授课教案课程名称:线性代数授课教师邢志红授课对象08级材料成型、铸造专业授课时间09.8.283-4节授课题目§1、4对换§1,5行列式性质课型理论课使用教具常规教学教学目的通过了解行列式性质的证明过程，逐步培养学生的逻辑推理能力教学重点和难点重点：行列式的性质难点：行列式的性质的证明过程参考教材1.《线性代数》，程铭东，舒和智编。科学出版社，2005年：2.《工程数学例题与习题》（上册），工科数学课程数学教学指导委员会本科组编，北京：高等教育出版社，1996年；3.《线性代数同步测试》，谢延波主编，东北大学出版社。教学内容时间分配及备注一、复习行列式的定义二、对换定义一）排列经一次对换改变一次奇偶性；二）、任意一个n元奇（偶）排列，总可经奇（偶）数次对换变为标准排列，三、行列式的性质（掌握），处理方法是：从对换与排列的奇偶性间的关系及n阶行列式的另一定义出发，了解行列式性质的证明过程，从而逐步掌握行列式的性质一）行列式。与它的转置行列式相等。—）互换行列式的两行（列），行列式变号。三）行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数人，等于用数k乘此行列式；或者行列式的某一行（列）的各元素有公因子k,则k可提到行列式记号之外。四）行列式中如果有两行（列）元素完全相同或成比例，则此行列式为零。五）若行列式的某一列（行）中各元素均为两项之和，则此行列式等于两个行列式之和。六）把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。四、一些常见的行列式五、例题讲解及练习六、小结七、本授课单元思考题、讨论题、作业：—）作业：5（2）,（5）二）思考题：1.行列式有哪些性质？2分钟3分钟6分钟6分钟2分钟5分钟5分钟5分钟5分钟5分钟5分钟8分钟25分钟5分钟1分钟2分钟
7课后小结佳木斯大学授课教案课程名称：线性代数授课教师邢志红授课对象08级材料成型、铸造专业授课时间09.9.23-4节授课题目§1、6行列式按行（列）展开§1、7克拉默法则课型理论课使用教具常规教学教学目的通过掌握行列式按行（列）展开法则，简化行列式的计算，同时会利用克拉默法则解决n元线性方程组的有关问题，初步培养学生应用所学知识分析和解决实际问题的能力教学重点和难点重点：行列式按行（列）展开法则及克拉默法则难点：行列式按任一行（列）展开公式及代数余子式的概念及重要性质的证明参考教材1.《线性代数》，程铭东，舒和智编。科学出版社，2005年；2.《工程数学例题与习题》（上册），工科数学课程数学教学指导委员会本科组编，北京：高等教育出版社，1996年；教学内容时间分配及备注
8、复习行列式的性质5分钟二、行列式按行（列）展开一）把〃阶行列式中（i,j）元为所在的第i行和第，列划去后所成的〃-15分钟阶行列式称为（i,j）元％的余子式，记作；记4=（T）'"Mu，则称号.为0,J）元％的代数余子式。二）〃阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与对应于它们的代数余子10分钟式的乘积的和。即可以按第i行展开：。=+q2A2+…+%A>(i=1,2,…；或可以按第，列展开：三）行列式中任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余8分钟子式乘积之和等于零。即6%Aj|+%人刀+…+%&,=0,iwj,或G%A/+4,+…+%儿=0,iwj-、克拉默法则一）用克拉默法则解线性方程组的两个条件：（1）方程个数等于未知元个12分钟数：（2）系数行列式不等于零。二）克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及四、常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.用克拉默法则求含有〃个未知元七,%,…七的〃个线性方程的方程组8分钟五、六、七、例题讲解及练习小结本授课单元思考题、讨论题、作业：34分钟5分钟一）作业：7(2),(5)(6),8(1),101分钟2分钟二）思考题：1.计算行列式通常采用的方法有哪些？2.克拉默法则的适用条件是什么？课后小结佳木斯大学授课教案课程名称：线性代数授课教师邢志红授课对象08级材料成型、铸造专业授课时间09.9.43-4节授课题目第一章行列式课型习题课使用教具常规教学教学目的理解n阶行列式的定义，掌握行列式的性质，并利用行列式的性质化简、计算行列式。教学重点和难点重点：n阶行列式的定义、性质及行列式按行（列）展开法则，并利用这一法则并结合行列式的性质计算一般难度的行列式；有关齐次线性方程组有非零解的必要条件。难点：n阶行列式的性质及其利用其性质求基本或有一般难度的n阶行列式。
9参考教材1.《工程数学例题与习题》（上册），工科数学课程数学教学指导委员会本科组编，北京：高等教育出版社，1996年；教学内容时间分配及备注一、本章小结二、习题精讲-)计算下列行列式：12341+x111234111-x111.2.341211l+y141231111-y1234522211二)已知31245,求：(1)Ai+&2+43'1Q)A34+4511122431502xt-x2+3x3+2x4=63x.-3x,+3x,+2x.=5三)用克莱姆法则解线性方程组：《1234-x2-x3+2x4=33再一芍+3x3—x4=4(1+2)Xj+工？+无3+工4=1x.+(1++x-i+xA=2四)问4取何值时，方程组41234有唯一解Xj+x?+(1+A)Xj+乙=3X1+工2+X3+(1+4)^4=4五)其他习题六、作业：5(5),7(4),915分钟20分钟10分钟10分钟10分钟24分钟1分钟课后小结佳木斯大学授课教案课程名称：线性代数授课教师邢志红授课对象08级材料成型、铸造专业授课时间09.9.93-4v(计90min)授课题目§2、1矩阵§2、2矩阵的运算课型理论课使用教具常规教学教学目的从矩阵应用的广泛性出发，使学生了解矩阵的概念；从矩阵与矩阵间的关系出发，掌握矩阵的运算
10教学重点和难点重点：矩阵及其运算法则难点：矩阵与矩阵相乘1.《线性代数》，程铭东，舒和智编。科学出版社，2005年；参考教材2.《工程数学例题与习题》（上册），工科数学课程数学教学指导委员会本科组编，北京：高等教育出版社，1996年：教学内容时间分配及备注一、矩阵的定义8分钟二、矩阵的加法一）矩阵的加法定义3分钟二）矩阵加法运算规律'益神三、数与矩阵相乘-）数与矩阵相乘定义3分钟二）数乘矩阵运算规律5分钟四、矩阵与矩阵相乘一）矩阵乘法定义8分钟二）矩阵乘法运算规律5分钟三）矩阵乘矩阵:让学生充分理解矩阵乘矩阵的定义，特别强调前面矩阵的2分钟列等于后面矩阵的行的原因.说明矩阵乘法常态下不满足消去率,通过练习提高学生的计算准确率.四）特殊矩阵：（单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，三角矩阵）7分钟五）矩阵的募六、矩阵的转置一）矩阵的转置定义“刀口二）矩阵的转置运算规律6分钟七、例题讲解及练习30分钟八、小结2分钟九、本授课单元思考题、讨论题、作业：—）作业：3,4(4),8,101分钟二）思考题:1.为什么矩阵乘法不满足交换律？3分钟2.矩阵的转置运算有哪些规律？3.什么是对称矩阵？4.方阵的行列式有哪些运算规律？课后小结佳木斯大学授课教案课程名称：线性代数授课教师邢志红授课对象08级材料成型、铸造专业授课时间09.9.113*4节授课题目§2、3逆矩阵§2、4矩阵分块法课型理论课使用教具常规教学
11教学目的1.从线性变换的可逆性引出矩阵可逆的定义，使学生清楚可逆阵的概念及矩阵可逆的充要条件2.使学生了解矩阵的分块法，以简化矩阵的运算教学重点和难点重点：1.逆矩阵的概念及性质和矩阵可逆的充要条件2.分块矩阵的运算及矩阵的按行和按列分块法难点：1.逆矩阵的概念及性质和矩阵可逆的充要条件2.分块矩阵的运算及矩阵的按行和按列分块法参考教材1.《线性代数》，程铭东，舒和智编。科学位版社，2005年；教学内容时间分配及备注一、复习矩阵概念及其运算二、对于〃阶矩阵A,如果有一个〃阶矩阵B,使AB=BA=E说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，筒称逆阵.记为A-1三、如果A可逆，则A的逆阵是唯一的四、矩阵A可逆，则色卜0五、若|小¥0,则矩阵A可逆，且5分钟8分钟4分钟5分钟8分钟=—A*|A|其中A*为A的伴随矩阵.六、若A8=E(或BA=E),则5=七、逆阵性质八、矩阵分块法九、例题讲解及练习十、小结十一、本授课单元思考题、讨论题、作业：一)作业：11(1)(3),12(2)(3),16二)思考题：1.判断矩阵可逆的常用方法有哪些？2.怎样解矩阵方程？4分钟12分钟25分钟13分钟3分钟1分钟2分钟课后小结佳木斯大学授课教案课程名称：线性代数授课教师邢志红授课对象08级材料成型、铸造专业
12授课时间09.9.1634节(计90min)授课题目第二章矩阵及其运算课型习题课使用教具常规教学教学目的1、掌握矩阵的概念2、掌握矩阵的运算3、掌握逆矩阵的性质及可逆矩阵的判定及其求法4.掌握初等变换和初等矩阵5.会用初等行变换求逆矩阵及矩阵的秩教学重点和难点重点：矩阵的定义；一些特殊的矩阵；矩阵的运算规律，特别是矩阵的乘法；方阵的伴随阵的构造及其性质：逆阵存在的充要条件及求法。难点：逆阵存在的充要条件及求法。参考教材1.《线性代数》，程铭东，舒和智编。科学出版社，2005年；2.《工程数学例题与习题》（上册），工科数学课程数学教学指导委员会本科组编，北京：高等教育出版社，1996年；3.《线性代数同步测试》，谢延波主编，东北大学出版社。教学内容时间分配及备注一、本章小结二、习题精讲—)填空：'13]「2-llr,(1)若A=,B=,贝ijA—28=o[-14j11-5j一12(2)设21,贝必=»30'123'(3)设A=012,贝必t=.001'o1r(4)设A=101,贝必的秩R(A)=。110ax0・••00g…0(5)对角矩阵A=..2..可逆的充分必要条件是•••••・・•00…O10分钟20分钟
13二)计算：-2'⑴1[-210]-13(2)求矩阵A的秩，'1000-2200A=3330444458912(3)求A的逆矩阵-308A=3-16-20-5'3101F102(4)已知A=-l21,B=-111,求满足方程342_||_2113A-2X=8中的X。三)其他习题作业：17,23,2530分钟29分钟1分钟
14课后小结佳木斯大学授课教案课程名称：线性代数授课教师邢志红授课对象08级材料成型、铸造专业授课时间09.9.1834节（计90min）授课题目§3、1矩阵的初等变换§3、2初等矩阵课型理论课使用教具常规教学教学目的使学生能够掌握矩阵的初等变力帙及用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法教学重点和难点茶点：矩阵的初等变换和用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法难点：初等矩阵的性质参考教材1.《线性代数》，程铭东，舒和智编。科学出版社，2005年；2.《工程数学例题与习题》（上册），工科数学课程数学教学指导委员会本科组编，北京：高等教育出版社，1996年；3.《线性代数同步测试》，谢延波主编，东北大学出版社。教学内容时间分配及备注
15一、矩阵的初等变换定义与记号—）初等行变换（1<->xk"+^^）,A与8行等价（A〜8）;8分钟二）初等列变换（qccj,qxk,q+kcj）,A与6列等价（A〜5）;8分钟三）初等变换,A与8等价（A〜8）.6分钟（E0）四）矩阵的行阶梯形、行最简形、标准形尸=、0oj,10分钟二、初等矩阵3分钟一）定义单位阵经一次初等变换所得矩阵称为初等矩阵.二）对矩阵A作一次初等行（列）变换相当于用对应的初等矩阵左（右）乘A.10分钟三）方阵4可逆u>A二E10分钟04=片6…片（耳为初等矩阵）A〜8。存在可逆矩阵P,。使5=PAQ.四)若(A,B):(E,X),则A可逆，且X=A%.特别地，若(A,E)~(£,X),5分钟则A可逆，且*=4-1三、例题讲解及练习24分钟四、小结3分钟五、本授课单元思考题、讨论题、作业：1分钟一）作业：2(2)(4),3,4(1)二）思考题：1.一个非零矩阵的行最筒形与行阶梯形有什么区别和联系？2分钟2.矩阵的初等变换与初等矩阵有什么关系？3.矩阵的初等行（列）变换有哪些？课后小结佳木斯大学授课教案课程名称：线性代数授课教师邢志红授课对象08级材料成型、铸造专业授课时间09.9.233-4节授课题目§3、3矩阵的秩§3、4线性方程组的解课型理论课使用教具常规教学教学目的1.通过对矩阵的秩的定义及求法，使学生明白矩阵的秩在矩阵理论中重要性2.利用矩阵的秩，使学生清楚线性方程组的解Ax=b有解的充要条件，并能用行初等变换求解线性方程组的解。
16教学重点和难点重点：1.矩阵的秩的概念和基本性质及用矩阵的初等变换求矩阵的秩的方法2.齐次线性方程组的解有非零解的充要条件和非齐次线性方程组的解有解的充耍条件及用行初等变换求解线性方程组的解难点：1.理解矩阵的秩的概念和基本性质2.理解齐次线性方程组的解有非零解的充要条件及非齐次线性方程组的解有解的充要条件参考教材1.《线性代数》，程铭东，舒和智编。科学出版社，2005年；2.《工程数学例题与习题》(上册)，工科数学课程数学教学指导委员会本科组编，北京：高等教育出版社，1996年：3.《线性代数同步测试》，谢延波主编，东北大学出版社。教学内容时间分配及备注一、复习1.初等变换和初等矩阵2.用初等行变换求逆矩阵二、矩阵的秩-)定义矩阵的左阶子式，矩阵的秩二)R(A)=rOA的行阶梯形含r个非零彳JOA的标准形尸三)矩阵秩的性质①017五、〃元齐次线性方程组Amxnx=0有非零解的充分必要条件是R(A)18佳木斯大学授课教案课程名称:线性代数授课教师邢志红授课对象08级材料成型、铸造专业授课时间09.9.253-4节（计90min）授课题目第三章矩阵的初等变换与线性方程组课型习题课使用教具常规教学教学目的1.掌握初等变换和初等矩阵2.会用初等行变换求逆矩阵3.理解矩阵秩的概念4.利用初等变换求矩阵的秩教学重点和难点重点：矩阵的秩的定义、性质及求法，可逆阵的逆阵的求法以及解矩阵方程；n元齐次线性方程组和n元非齐性线性方程组有解的充要条件及其解法。难点：矩阵的秩的定义、性质；n元非齐性线性方程组的解法。参考教材1.《线性代数》，程铭东，舒和智编。科学出版社，2005年；2.《工程数学例题与习题》（上册），工科数学课程数学教学指导委员会本科组编，北京：高等教育出版社，1996年；3.《线性代数同步测试》，谢延波主编，东北大学出版社。教学内容时间分配及备注
19一、本章小结二、习题精讲—)填空：’12-11、1.设矩阵A=2-131,则R(A)=。13122)2.设A为四阶方阵，且R(A)=3,则有R(A*)=.”111、、…1&11,3.设矩阵A=,且R(A)=3,则k=o11k1J11的4.设A是"解方阵，且R(A)=〃-1,则R(A*)=。5.设R(4)=r,,R(A)=r2,矩阵0=(''则砥°)=°’2317、二)设4=37-6-2,且R(A)=2,求x的值、581x)10分钟15分钟8分钟
20三)试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵：‘132、(1)A=265【一1一3J(\111A11-1-1(2)A=1-11-1I1-1-11J+ax2+当=3四)问取何值时线性方程组＜+2数2+七=4有唯一解、无解、无穷多尤1+彳2+bx3=4解？在有无穷多解时，求通解。五)其他习题六)作业：5,11,15,1730分钟10分钟16分钟1分钟课后小结
21佳木斯大学授课教案课程名称：线性代数授课教师邢志红授课对象08级材料成型、铸造专业授课时间45min授课题目§4.1向量组及其线性组合课型理论课使用教具常规教学教学目的理解向量组的线性组合及线性表示的定义；掌握向量能够用向量组表示的方法；会利用矩阵的秩判断向量组的等价；教学重点和难点重点：向量的线性表示；向量组等价的判定：难点：线性表示与方程组有解得关系；向量组等价与矩阵的秩的关系参考教材1.《线性代数》，程铭东，舒和智编。科学出版社，2005年；2.《工程数学例题与习题》（上册），工科数学课程数学教学指导委员会本科组编，北京：高等教育出版社，1996年；教学内容时间分配及备注
22一、向量及其运算1、向量："个有次序的数内,敢,…,册所组成的数组称为“维向量。分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量.2、线性运算：(1)向量的加法：(2)向量的数乘二、向量组及其线性组合1、线性组合给定向量组A:4,…,金，对于任何一组实数占，表达式ki4+&/+…+匕”4”,称为向量组A的一个线性组合，kx,—称为这个线性组合的系数.2、线性表示给定向量组a金，和向量仇如果存在一组数4，4,…，4“，使b=A]ai+A2a2+---Aniam则向量b是向量组A的一个线性组合,称向量b能由向量组A线性表示。3、定理1向量b能由向量组A线性表示的充分必要条件是矩阵A=(《，的，…,勺)的秩等于8=(q,a2,-,am,b)的秩.…口口口.1221301U蜀U5证明：向量b能山向量组4,%,出线性表示，并求出表示式。4分钟与矩阵的运算相同3分钟kiM，"为任意一组实数3分钟存在一组实数4，九2,…，儿4分钟利用方程组Ax=8有解的判别条件3分钟
23推论：向量组4吗,。2,与向量组8屹也,…，，等价。R(A)=R(8)=R(A,B)，其中A=(%,勺,，B=(d,…，仇)4、向量组的等价：设有两个向量组A:%,%"，及8:仇也，…曲，若B组中的每个向证：因A组与B组互相线性表示，故知R(A)=R(A,B),R(B)=R(B,A)而R(B,A)=R(A,B),故R(A)=R(B)=R(A,B)5、性质：(1)自反性：(2)对称性；(3)传递性结论：若矩阵A与矩阵B行(列)等价，则A的行(列)向量组与B的行(列)向量组等价。6、定理2向量组8:%名，…功能由向量组4吗,。2,…,心线性表示O矩阵A=(《,。2,的秩等于矩阵(A,8)=(%,4,…,a,A也，…，4)的秩，即R(A)=R(A,8)推论：向量组A：q,。2,…,"m与向量组8：4也，…,乙等价。R(A)=R(B)=R(A,B),其中A=(%,%,…4)，3=他也,…曲)例2已知向量组A：«1=1,a2=1B：d=0,b2=2也=2UMb)U(-J证明：向量组A与向量组B等价。7、定理3设向量组B:"也，…,"能由向量组4:%,敢,线性表示，则R(仇也，…，仇)4三、小结1、n维向量2、向量组3、线性组合4、线性表示5,向量组等价6、几个结论四、练习五、本授课单元思考题、讨论题、作业：.一)作业：3.4.5二)思考题：2分钟2分钟2分钟4分钟利用矩阵方程AX=8有解的判别条件2分钟2分钟2分钟3分钟8分钟1分钟
24课后小结佳木斯大学授课教案课程名称:线性代数授课教师邢志红授课对象08级材料成型、铸造专业授课时间45min授课题目§4.2向量组的线性相关性课型理论课使用教具常规教学教学目的理解向量组线性相关与线性无关的概念；掌握向量组线性相关性的判别方法教学重点和难点重点：向量组线性相关及线性无关定义；向量组线性相关性的判别方法；重要结论难点：线性无关的判别；线性相关的结论参考教材1.《线性代数》，程铭东，舒和智编。科学出版社，2005年；3.《线性代数同步测试》，谢延波主编，东北大学出版社。教学内容时间分配及备注
25一、线性相关：4分钟给定向量组A:%,力，…,若存在不全为零的数月,%2,…,，使3+…=0则称向量组A是线性相关的，否则称为线性无关的，即若k1%+k.,a2HFkmam—0当且仅当占=0=•♦•=£”=0二、线性相关的判定1、定理1向量组4：%,。2,…,4,线性相关。向量组A中至少有一个向量能由其余%-1个向量线性表示。4分钟充要性证明2、定理2向量组A:q”，…,。削线性相关O矩阵A=(%，。2,…，心)的秩小于向量个数加；向量组线性无关<=>R(A)=加。r-n⑶(03分钟例1已知〃］=3,a2=1,a3=4,试讨论向量组a”%，力及11JHU向量组6,。2的线性相关性。3分钟例2已知向量组a”由，内线性无关，。］=。］+。2，%=〃2+。3，8分钟by=a3+,试证向量组”,。2，/线性无关。三种证法3、定理3(1)向量组A:%,%,…,线性相关，则向量组8分钟8:3,勺「・,%,,。”+1也线性相关。反之，若向量组8线性无关，则向量组A也线性无关。
26（2）m个〃维向量组成的向量组，当维数〃小于向量个数m时一定线性相关。特别地，〃+1个〃维向量一定线性相关。（3）设向量组4:4,。2,…,a,”线性无关，而向量组…线性相关，则向量b必能由向量组A线性表示，且表示式是惟一的。三、小结：1.线性相关与线性无关的概念;线性相关性在线性方程组中的应用；（重点）2.线性相关与线性无关的判定方法：定义、几个定理.（难点）四、练习五、本授课单元思考题、讨论题、作业：.一）作业：6.8.11.12二）思考题：3分钟11分钟1分钟课后小结
27佳木斯大学授课教案课程名称：线性代数授课教师邢志红授课对象08级材料成型、铸造专业授课时间45min授课题目§4.3向量组的秩课型理论课使用教具常规教学教学目的掌握最大无关组的定义及向量组秩的定义；会求向量组的最大无关组；掌握关于最大无关组的几个性质教学重点和难点重点：向量组的最大线性无关向量组；向量组的秩的结论：求向量组的最大无关组难点：求向量组的最大无关组参考教材《线性代数》，程铭东，舒和智编。科学出版社，2005年；教学内容时间分配及备注
28一、复习：矩阵的秩：矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D,且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于0,则D称为矩阵A的最高阶非零子式，而数r称为矩阵A的秩，记作：R(A)二、向量组的秩1、最大无关组：设向量组A,若能在A中能选出r个向量％,%,…,见，满足(i)向量组人…,凡线性表示;(ii)向量组A中任意HI向量(若A中存在r+1个向量的话)线性相关则称向量组A。是向量组A的一个最大线性无关向量组。例1讨论向量组A：%=0,%=1，生=1的线性相关性。INNH2、性质：(1)最大无关组不一定惟一；(2)线性无关的向量组的最大无关组是其本身；(3)向量组与它的最大无关组等价；(4)两个最大无关组中所含向量的个数相同。3、向量组的秩：最大无关组中所含向量的个数r称为向量组的秩。记作：ra5分钟3分钟3分钟4分钟2分钟
294、最大无关组的等价定义：设向量组A。：卬,。2,…，生是向量组A的一个部分组，且满足：(i)向量组A。线性无关；(ii)向量组A的任一向量都能由向量组为:4,心，…,勺现行表示；则向量组4:6,。2,…,勺便是向量组A的一个最大无关组。5、矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩。例2设矩阵(2-1-112)4_11-214a—4-62-24,、36-979,求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量组用最大无关组现行表示三、小结1、向量组的最大无关组；2、最大无关组的性质；3、向量组的秩；4、最大无关组的等价定义；5、向量组的秩与矩阵的秩的关系四、练习五、本授课单元思考题、讨论题、作业：.—)作业：13.15.17二)思考题：5分钟2分钟3分钟3分钟14分钟1分钟
30课后小结佳木斯大学授课教案课程名称：线性代数授课教师邢志红授课对象08级材料成型、铸造专业授课时间45min授课题目§4.线性方程组的解的结构课型理论课使用教具常规教学教学目的1.理解基础解系的概念。2.掌握齐次线性方程组基础解系的求法。3.掌握非齐次线性方程组解的求法教学重点和难点重点：线性相关性在线性方程组中的应用；难点：基础解系的求法参考教材1.《线性代数》，程铭东，舒和智编。科学出版社，2005年；2.《工程数学例题与习题》（上册），工科数学课程数学教学指导委员会本科组编，北京：高等教育出版社，1996年；教学内容时间分配及备注
31一、齐次线性方程组解的性质（性质1、性质2、定理7）线性齐次方程组AX=O（4是矩阵）解的性质：（1）设X”X2是AX=O的两个解，则kiXi+BX?也是AX=O的解，其中岛，及2为两个任意数：（2）零解X=0总是AX=O的解；AX=O有非零解=秩（A）<〃：AX=0只有零解=秩（4）=〃=A的列数；若A是〃阶矩阵，则AX=O有非零解o|A|=0,AX=0只有零解|W0；二、基础解系及其求法（1）基础解系定义；掌握判断一组向量a”a2,…，ap是AX=0的基础解系的三点；（2）设秩（A）=r,则①AX=0的基础解系中含有〃-r个向量X],X2,X『r；②AX=0的通解（一般解）是+k2X2+…+&iXn-r其中41，后,…,熊-r是任意常数：③AX=0的任何〃-r个线性无关的解都是AX=0的基础解系.三、非齐次线性方程组解的性质及求法线性非齐次方程组AX=A（夕#0）7分钟9分钟8分钟
32(1)AX=夕的导出组AX=O两者之间关系：若4X=/3有惟一解，则AX=O只有零解(惟一解)；若AX=/3有无穷多组解，则4X=0有非零解(无穷多组解).若4X=0只有零解(有非零解)，不能简单地判断AX=?有惟一解(有无穷多组解)，而需要其它条件才能判断.(2)设Xi，X2是AX=#的解，则X1-X2是导出组AX=O的解；(3)设秩(A)=秩(4夕)=r,贝l]4X="的通解：k2X2+…+kn.rXn.r,其中X|,X2，…，Xi是导出组AX=O的基础解系，4是AX=/3的一个特解.(4)设Xi，X»是AX=0的两个解，则X1+X2,AXi(2^1)肯定不是AX=/?的解.四、例题讲解及练习五、小结六、本授课单元思考题、讨论题、作业：.—)作业：22(1).29.32二)思考题：16分钟4分钟1分钟课后小结
33佳木斯大学授课教案课程名称：线性代数授课教师邢志红授课对象08级材料成型、铸造专业授课时间90min授课题目§4.5向量空间；第四章习题课课型理论课使用教具常规教学教学目的1.掌握向量空间（基和维数）的概念.2.掌握子空间的概念.3.掌握由向量组生成的向量空间.4.对第四章内容进行总结巩固与复习.教学重点和难点重点：向量空间的概念：向量的集合对加法及数乘两种运算封闭；山向量组生成的向量空间;子空间的概念；难点：向量空间的基和维数：求向量空间基和维数的方法参考教材《工程数学例题与习题》（上册），工科数学课程数学教学指导委员会本科组编，北京：高等教育出版社，1996年；教学内容时间分配及备注
34一、§4.5向量空间定义6设v为〃维向量的非空集合，若V对向量的加法和数乘运算封闭，即满足(1)对任a,夕eV,有a+/7eV：(2)对任一aeV及力eR,有3分钟AaeV.则称丫为向量空间.例1全体〃维实向量集合所作成的集合R"=｛(七,々,％)|x,.eR,i=1,2,…,〃｝是一向量空间，其中R3分钟为全体实数所作成的集合.例23维向量的全体R3,就是一个向量空间.3分钟类似地,n维向量的全体Rn,也是一个向量空间.不过当n>3时，它没有直观的几何意义.2分钟例3集合丫=国》=(0,m.：,,,心)7,M,.：、x”eR｝是一向量空间.3分钟例4集合V={x|X=(l,X2,.：“,X/y,X2,.：“,X”eR}不是向量空间.2分钟3分钟例5齐次线性方程组的解集5=国Ax=0｝是一个向量空间例6非齐次线性方程组的解集5=｛x|A*4｝不是向量空间.例7设为已知的〃维向量，集合L=｛x|x=a+b,/i,〃€R｝是一个向量空间.2分钟例8设向量组41,。2,…,0,"与向量组团,岳,…，瓦等林，记4分钟L[={X|X=2ifli+4/2+'''+41,儿2,.：“，儿£用，乙2={*|X=〃lE+〃2岳+''•+〃也,〃sWR},试证定义7设有向量空间V,及V2,若V,<=V2,就称V,是V2的子空间.6分钟定义8设V为向量空间，如果r个向量卬,。2,・一,4€匕且满足(1)“1,02,••线性无关；(2)丫中任一向量都可由。|,畋,•••,4线性表示，那么，向量组外,畋,♦•明就称为向量空间丫的一个基,r称为向量空间V的维数，并称丫为r维向量空间.如果向量空间V没有基，那么V的维数为0.0维向量空间只含一个向量0.若把向量空间V看作向量组，则由最大无关组的等价定义可知，丫的基就是向量组的最大无关组,V的维数就是向量组的秩.
35(22-11(14)例9设4=(%,。2，。3)=2-12,8=(仿也)=03.验证ai,a2,田-122-42是R3的一个基，并求仇在这个基中的坐标.例10设4:ai=(2,2,-I),,02=(2,T,21,a3=(-l,2,2)r;B:"=(1,0,-4)r,岳=(4,3,2)，验证的是R，的一个基，并求仇，岳在这基中的坐标.例11在R，中取定一个基。2,。3,再取一个新基仇，如仇，设4=(「1,02,03),B=(bi,b2,b3).求用5,。2,43表示仇，历，仇的表示式(基变换公式)，并求向量在两个基中的坐标之间的关系式(坐标变换公式).二、本章节习题课1、本章小节2、习题精讲4分钟5分钟5分钟8分钟37分钟课后小结
36佳木斯大学授课教案课程名称：线性代数授课教师邢志红授课对象08级材料成型、铸造专业授课时间90min授课题目§5.1向量的内积、长度及正交性课型理论课使用教具常规教学教学目的掌握向量内积的定义，会利用施密特正交化过程将向量正交化。教学重点和难点利用施密特正交化过程将向量正交化参考教材1.《线性代数》，程铭东，舒和智编。科学出版社，2005年；2.《工程数学例题与习题》（上册），工科数学课程数学教学指导委员会本科组编，北京：高等教育出版社，1996年；教学内容时间分配及备注
37一、内积1、定义1:卜‘1任〕,X,y,r1设有n维列向量*=.,y=.，令[x,y]=X]y[+x2y2+…+*环，0；(v)施瓦茨不等式[x,y]2<[x,x“y,y]。二、向量x的长度1、定义2：令||x||==Jx：+x；+…+x；,国称为n维向量x的长度(或范数)。注：(1)两"维向量的距离为d,则d=lk-y|=Ja一3产+小一为了+…+6一心了(2)若两非零n维向量x,y间夹角为。，则定义6=arccosFilbll2、性质：⑴非负性：当x#0时,卜|>0;当x=O时卜|=0；10分钟内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数，用矩阵记号表示，当X与y都是列向量时，有[x,y]=xTy4分钟长度又叫范数⑴当卜|=1时，称X为单位向量。4分钟
38（ii）齐次性：限司|=阿|N|（iii）三角不等式:lk+y||力[+帆3、正交：定义3：当[x,y]=O,称向量x与y正交。注：（1）两非零向量正交的充要条件是卜,习=0,（2）若不含零向量的向量组中的向量两两正交，则称其为正交向量组。4、定理1：若n维向量a^a2,…,a,是一组两两正交的非零向量，则a2,…,线性无关。例1：已知3维向量空间R3中两个向量a】=1,a2=-2正交，试求一1G>个非零向量23,使a”a2，a3两两正交。5、规范正交基定义4：设n维向量e”e2,…,e1是向量空间V（VuR）的一个基，如果e1,e2,…,两两正交，且都是单位向量，则称e.e2,…，©r是V的一个规范正交基。oo_Lf&-3e17T17TOo-2e一正_LI及oo,rkv-如例'0、0，e4=1正就是R4的一1)3分钟若x=0,贝！]x与任何向量正交8分钟7分钟个规范正交基。注：向量在规范正交基中的坐标的计算公式:设e”e2,…,e,是向量空间V的一个规范正交基，那么V中任一向量a应能由4,«2,/线性表示，该表示式为a=44+4«2+…+4，〃。为求其中的系数4（i=L可用e：左乘上式，有e：a=4e*=49分钟即4=e：a=[a,ej。6、把%,a2,…,a,这个基规范正交化:设为田2,…,a,是向量空间V的一个基，要求V的一个规范正交基。这也是拽蛆网时||.史的单向」"J限E],E,使,d,,…，11〜，a,,…，
39等价这样一个问题，称为把为/2,…,a,这个基规范正交化。我们利用施密特(Schimidt)正交化过程把a”a2,…,规范正交化：取bi,也必]b?=a2-1~~—rb.;[b„b,]Pb=a-Mb一…一[%,a』brr[b.,b.]bl[b2,b2]b2[Hz此时…,b,两两正交，且匕为2,…,b,与a”a2,…,a=等价。然后，把它们单位化，即€]='；]—rb1,e2= ；]—…,—就是VllbillIIMIIIM的一个规范正交基，此过程称为施密特正交化过程。，1)(—1)(4、例2：设跖=2,a2=3,a3=-1,试用施密特正交化过程把这、1,、。，组向量规范正交化。fl例3：已知a]=|l],求一组非零向量az/?,使2]声2/3两两正交。三、正交矩阵：1、定义5:若n阶方阵A满足：AtA=E，(即A-1=AT),那么称A为正交矩阵，简称正交阵。注：(1)方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列向量都是单位向量，且两两正交。(2)上述结论对A的行向量也成立。(3)n阶正交阵A的n个列(行)向量构成向量空间R”的一个规范正交基。例如，下面的矩阵都是正交阵：施密特正交化过程不仅满足“为2,…,r与a”a2,…,等价，还满足：对任何k(l40112一~227X1j_0-1-—T22A=-10121~2_J_21O±11_1-222~2_(1_]_2一52~2£J_例4：验证矩阵P=21一51一52是正交阵。正正001100正7L2分钟2、性质：⑴若A为正交阵，则A〈=AT也是正交阵,且|A|=1或(-1)；(ii)若A和B都是正交阵，则AB也是正交阵。3、正交变换：定义6：若P为正交矩阵，则线性变换y=Px称为正交变换。例5:设P为正交矩阵，且|P|<0,计算|尸+用。四、练习五、本授课单元思考题、讨论题、作业：.—)作业：1.3.42分钟5分钟正交变换的优良特性：正交变换不改变线段长度，从而三角形的形状保持不变。21分钟1分钟2分钟二)思考题
41课后小结佳木斯大学授课教案课程名称：线性代数授课教师邢志红授课对象08级材料成型、铸造专业授课时间90min授课题目§5.2方阵的特征值与特征向量§5.3相似矩阵课型理论课使用教具常规教学教学目的掌握方阵的特征值及特征向量的计算方法，掌握相似矩阵的定义，且会判断矩阵是否可对角化教学重点和难点重点:掌握方阵的特征值及特征向量的计算方法难点:掌握方阵的特征值及特征向量的计算方法，判断矩阵是否可对角化参考教材1.《线性代数》，程铭东，舒和智编。科学出版社，2005年；2.《线性代数同步测试》，谢延波主编，东北大学出版社。教学内容时间分配及备注
42§5.2方阵的特征值与特征向量1、特征值与特征向量定义6:设A是n阶矩阵，如果数4和n维非零列向量x使关系式Ax=Ax成立，那么，这样的数之称为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应特征值九的特征向量。2、因为Ax=。（A=0或者（4E-A）x=0（4-义£口=0有非零解0,-/1£；|=0<=>|A£-?1|=O^A-AE或者/IE-A为特征矩阵，4“-4a\2a
43a、、—A,,••^（2）=det（A-AE）=:22...;为特征多项式，ac…ann-2（A—；lE）x=O为特征方程。（3例5：求矩阵A=的特征值和特征向量。3）‘-110、例6：求矩阵A=-430的特征值和特征向量。1102）5分钟掌握特征值及特征向量的求法。5分钟4分钟5分钟
44，-21r例7：求矩阵A=020的特征值和特征向量。「413；3、特征值与特征向量的性质：设n阶矩阵A=（aJ的特征值为4,…,4,则4分钟11分钟要会利用性质求相关矩阵的特征值。3分钟4分钟4分钟3分钟4分钟3分钟2分钟1）^+^+---+2n=an+a22+---+ann；2）44…4=|a]。设4是方阵A的一个特征值，则3）方是A11的特征值（k为正整数）；4）f（/l）是多项式f（A）的特征值；5）当A可逆时，!是人一1的特征值；均是A*的特征值；AA例9：设3阶矩阵A的特征值为1,-1,2,求|A*+3A-2E|。4、定理2：设4,4,…,乙是方程A的m个特征值,p”p2,…,p„,依次是与之对应的特征向量，如果A,,A2,111,Am各不相同，则P],「2,…，p,n线性相关。例10：4和;12是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为Pi和p2，证明Pl+P2不是A的特征向量。§53相似矩阵1.相似矩阵定义：定义7:设A,B都是阶矩阵，若有可逆矩阵P,使pTap=8,则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似。对A进行运算称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.2.定理3：若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征值亦相同。N、3.推论：若n阶矩阵A与对角阵2..相似，则…4,即是A的n个特征值。—结论！&/（见）见如蚱Afl州制啰项式，则/（从）—0。
454.定义：对n阶矩阵A,若存在相似变换矩阵P,使？tAP=A为对角阵，称为把方阵A对角化。3分钟5.定理4：n阶矩阵A与对角阵相似（即A能对角化）的充分必要条件是A有4分钟n个线性无关的特征向量。6.推论：如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似。3分钟仅01]例11：设A=11x,问x为何值时，矩阵A能对角化？6分钟booj练习14分钟本授课单元思考题、讨论题、作业：.一）作业：5.7.11.121分钟二）思考题2分钟
46课后小结佳木斯大学授课教案课程名称：线性代数授课教师邢志红授课对象08级材料成型、铸造专业授课时间90min授课题目§5.4对称矩阵的对角化课型理论课使用教具常规教学教学目的了解对称矩阵的特征值与特征向量的性质；会求正交相似变换矩阵将对称矩阵化为对角矩阵教学重点和难点重点:实对称阵对角化的具体步骤难点:实对称阵对角化的方法参考教材1.《线性代数》，程铭东，舒和智编。科学出版社，2005年：2.《工程数学例题与习题》（上册），工科数学课程数学教学指导委员会本科组编，北京：高等教育出版社，1996年；3.《线性代数同步测试》，谢延波主编，东北大学出版社。教学内容时间分配及备注
476分钟6分钟5分钟解题关键：定理6的应用8分钟4分钟8分钟8分钟「500、例2设A=021,求一个正交矩阵P，使P'AP=A为对角矩阵、012,<111、例3设A=111,求一个正交矩阵P，使P'AP=A为对角矩阵.J1一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质定理5实对称矩阵的特征值为实数.定理6设4,4是实对称矩阵A的两个特征值,P//2依次是它们对应的特征向量.若4H4,则Pi与P2正交.例1设实对称矩阵43x3的特征值4=1,4=3,4=-3,属于的特征向量依次为Pi=-1,P2=[l[求A.二、实对称矩阵的相似对角化定理7设A为〃阶对称矩阵，则必有正交矩阵尸，使p-)P=A,其中A是以A的〃个特征值为对角元素的对角矩阵.推论设A为"阶对称矩阵，A是A的特征方程的r重根，则矩阵A-/IE的秩R(A-4E)=n-r,从而特征值4恰有，个线性无关特征向量.
48用正交阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤:13分钟0）求出A的所有相异的特征值4,4,…，4”；（"）对每一个匕重特征值4,求出对应的4个线性无关的特征向量曷©2,…，氤（沆）用施密特正交化方法将每一个重特征值4所对应的k.个线性无关的特征向量舞，。2,…,加先正交化再单位化为P“，P，2,…，曝它们仍属于4的特征向量.（/V）将上面求得的正交单位向量作为列向量，排成一个〃阶方阵P,则P即为所求的正交方阵.此时=PtAP=A为对角阵.29分钟1分钟2分钟三、练习四、本授课单元思考题、讨论题、作业：.—）作业：14.16.18-）思考题
49课后小结佳木斯大学授课教案课程名称：线性代数授课教师邢志红授课对象08级材料成型、铸造专业授课时间90min授课题目§5.5二次型及其标准形-§5.7正定二次型课型理论课使用教具常规教学教学目的掌握二次型、二次型的标准形等概念：会用正交变换法及配方法将二次型化为标准形；掌握正定二次型与正定矩阵的概念并能够判断二次型、实对称阵是否为正定的.教学重点和难点重点：用正交变换法化二次型为标准型；用配方法化二次型为标准型；判定二次型的正定性难点：将二次型问题转化为实对称阵对角化问题参考教材1.《工程数学例题与习题》（上册），工科数学课程数学教学指导委员会本科组编，北京：高等教育出版社，1996年；2.《线性代数同步测试》，谢延波主编，东北大学出版社。教学内容时间分配及备注
502分钟引入:对二次曲线做变化8分钟对于n元的二次齐次多项式,能否存在一个线性变换将其变为只含平方项的二次齐次多项式§5.5二次型及其标准形一、概念1、定义"个变量%,,々,…,x»，的二次齐次函数，(不外，…，/)=%方+a22X24("annXn+^a\2XlX2+2。13*/3+…+2。“_］,“工“_内(1)称为二次型.2,二次型的矩阵表示法若取勺=%,则=%*曰+a/tjXi于是(1)式可写成f(xt,x2,...,xn)=Za/jXj(2)i,j=】“fan...nA/Y、w12u
51人］a、1a、、•••ci^对二次型(1),记4=??2；，％=.^an\an2…ann)［乙/则二次型(1)又表示为F(X/,X2X”尸xTAx其中A为对称矩阵，叫做二次型f(X1,x2,……，xn)的矩阵，也把/(七,％2,…,X”)叫做对称矩阵A的二次型.对称矩阵A的秩，叫做二次型/(七/2,…,x")=fA无的秩.
52思考：那么新二次型的矩阵与原二次型的矩阵A的关系是什么？2分钟4分钟2分钟2分钟3分钟7分钟5分钟10分钟总结步骤二次型/(x，9,…,x“)经过可逆的线性变换=cuyi+cl2y2+-+cl„yn々flM+C22y2+…小1(3).%=%必+32+~+%/1”即用(3)代入(1),还是变成二次型.可逆线性变换(3),记作x=Cy,其中矩阵C=(q。.把可逆的线性变换x=Cy代入二次型/=—4x,得二次型f=xtAx^(Cy)rA(Cy)=yT(CTAC)y就是说，若原二次型的矩阵为4,那么新二次型的矩阵为C)C,其中C是所用可逆线性变换的矩阵.例1用矩阵记号表示二次型f=-xj2+2x}x2-4x2x3+2xj定理有可逆矩阵C,使B=C)C,如果A为对称矩阵，则B也为对称矩阵，且R(A)=R(B).二、将二次型化为标准形主要问题：求可逆的线性变换‘王=。|必+。12y2+…+4“％尤2=。2旧+。22y2+…+。2"以小〔X”=giM+c“2y2+…+%”尤将二次型(/)化为只含平方项，即用(3)代入(1),能使f(.x',X2xn)=&y；+3；++k“y；(4)称(4)为二次型的标准形.(二次型的标准型不唯一)也就是说，已知对称矩阵A,求一个可逆矩阵C使C7AC=A为对角矩阵.定理设A为〃阶对称矩阵，则必有正交矩阵P，使PTAP=P74P=A,其中A是以4的〃个特征值为对角元素的对角矩阵.定理任意二次型f=Xa^Xj(%=。0),总有正交变换x=Py,使f化为/=4y；+4y；+…+乙4,其中4,4「一4是/的矩阵4=@)的特征值例2求一个正交变换x=Py,把二次型f=5尤；+2xj+2x2x3+2x；化为标准形.例3求一正交变换x=Py,把二次型f=gX：-MW+2xr+54+2x2x3-xj化为标准形.用正交阵将二次型化为标准形的一般步骤：⑴引I"的矩阵儿并求用4所万州解r征僧4,一，儿;
53（”）对每一个重特征值4,求出对应的0个线性无关的特征向量如，金，…，%；由性质知£/，=〃•（/V）用施密特正交化方法将每一个重特征值4所对应的/；个线性无关的特征向量品，品，…，％；先正交化再单位化为「"，巴2,…，心；（v）取P=（P,「-P„„J，则尸"AP=A，作正交变换x=Py即可将/化为标准型f=（Ay.§5.6用配方法化二次型为标准形例1化二次型f=x：-以内+2xr+x；+2々9-2焉为标准形，并求变换矩阵.例2化二次型f=x}x2+x]x3+3x2x3§5.7正定二次型定理1设实二次型的秩为r,若有实可逆变换x=。及工=也使f=k}yf+k2y^+---+kry^（kr0）,和/=4z：+4z；+―+4z；（4。0）,则k.,k2…k,中正数的个数与4,4,…，4中正数的个数相等.定义实二次型/uxOx称为正定二次型，如果对任何x#0,都有xJx>0.正定二次型的矩阵称为正定矩阵.定理2〃元实二次型为正定的充要条件是:它的标准形的〃个系数全为正.推论对称矩阵A为正定的充分必要条件是:A的特征值全为正.定理3对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是：A的各阶主子式都为正.即ail■"an\aH>0,0">0,…,同=::>0.a2\a22an\…ann例1判别二次型/=一51-6/-4z2+4xy+4xz的正定性.小结本授课单元思考题、讨论题、作业：.一）作业：27.28.30.33二）思考题6分钟5分钟3分钟2分钟5分钟2分钟3分钟10分钟6分钟1分钟2分钟
54课后小结佳木斯大学授课教案课程名称：线性代数授课教师邢志红授课对象08级材料成型、铸造专业授课时间90min授课题目第五章习题课课型理论课使用教具常规教学教学目的对第五章内容进行总结复习，对本学期所学知识点知识进行总结教学重点和难点参考教材1.《线性代数》，程铭东，舒和智编。科学出版社，2005年；2.《工程数学例题与习题》（上册），工科数学课程数学教学指导委员会本科组编，北京：高等教育出版社，1996年；教学内容时间分配及备注
55一、内容回顾二、习题精讲1.试用施密特法把下列向量组正交化：(111)(11-1]⑴(册“2，%)=124⑵(4,%,见)=[(13”[110,2设x为〃维列向量，xGul,令匕E-2x£,证明〃是对称的正交阵.3设力与6都是〃阶正交阵，证明团也是正交阵.4求下列矩阵的特征值和特征向量：'2-12、(123、仅0°1、(1)5-33；⑵2]3；⑶°01°.-10-233601001/3J°，1^10ooj5设/为〃阶矩阵，证明T与力的特征值相同.6设〃阶矩阵4、B满足R(A)+R⑵56、i_2-4^515设矩阵a=_2x-2与A=-4相似，求其二并求一个正交阵【一4-21J[y>P,使产'46A.16设3阶方阵1的特征值为为=2,九=-2,23=1;对应的特征向量依次为P=(O,1,D；R=(l,1,1)：p=(l,1,0)；求416设3阶对称阵4的特征值为2=1,友=-1,23=0;对应为、入的特征向量依次为p=(l,2,2)；r=(2,1,-2)；求4173阶对称矩阵A的特征值2=6,九=3,九=3,与特征值九=6对应的特征向量为0=(1,1,1),,求A.18设A=0-34I。43)19求一个正交变换将下列二次型化成标准形：(1)f=2x12+3x2+3x^+4x2Xi(2)f=X]②+M〜+X32+x/+2X]X2—2x]14—2应了3+2%3工4.
57课后小结学生名单日期、学别
58学\类别号姓名、
59学\类别号姓名、
60学\类别号姓名、
61学\类别号姓名、
62学\类别号姓名、
63学\类别号姓名、
64学\类别号姓名、一、课程授课工作总结:
65二、课程教学评价:
