二次函数与面积之铅垂高

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二次函数与面积之铅垂高一教学目的1.让学生经历探索的过程，观察图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，促进培养学生解决问题的能力．2．理解用“鉛锤高，水平宽”求不规则三角形面积的方法，并用此方法解决二次函数与几何图形的综合题中有关三角形面积计算的问题。二重点难点1灵活应用铅垂高进行二次函数与几何图形的综合题中有关三角形面积计算的问题。2铅垂高的寻找方法，以及用坐标表示线段三．教学方法先让学生阅读理解，自主探究，引导学生掌握方法，讲练结合四．教学过程例1阅读材料：A铅垂高如图12-1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂Ch直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水B水平宽平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△a图12-1ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的1新方法：Sah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.ABC2解答下列问题：如图12-2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S；CAB9(3)是否存在一点P，使S=S，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请△PAB8△CABy说明理由.CBD1xO1A图12-2

1例1解：(1)设抛物线的解析式为：ya(x1)24···········································1分1把A（3,0）代入解析式求得a1所以y(x1)24x22x3·············································3分1设直线AB的解析式为：ykxb2由yx22x3求得B点的坐标为(0,3)···································4分1把A(3,0)，B(0,3)代入ykxb中2解得：k1,b3所以yx3··········································································6分2(2)因为C点坐标为(１,4)所以当x＝１时，y＝4，y＝212所以CD＝4-2＝2··········································································8分1S323(平方单位)···················································10分CAB2(3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，则hyy(x22x3)(x3)x23x······················12分129由S=S△PAB8△CAB19得：3(x23x)328化简得：4x212x903解得，x23将x代入yx22x3中，21315解得P点坐标为(,)······························································14分24总结：求不规则三角形面积时不妨利用铅垂高。铅垂高的表示方法是解决问题的关键，要学会用坐标表示线段。例2（2010广东省中考拟）如图10，在平面直角坐标系中，二次函数yax2bxc(a0)的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B

21点的坐标为（3，0），OB＝OC，tan∠ACO＝．3（1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．（4）如图11，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.y_y_E_A__OB_x_A__OB_x_C_图10图11C_G_D_D_1）方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0）abc09a3bc0c3将A、B、C三点的坐标代入得a1b2c3解得：yx22x3所以这个二次函数的表达式为：方法二：由已知得：C（0，－3），A（－1，0）ya(x1)(x3)设该表达式为：a1将C点的坐标代入得：yx22x3所以这个二次函数的表达式为：

3（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）（2）方法一：存在，F点的坐标为（2，－3）yx3理由：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：∴E点的坐标为（－3，0）由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形∴存在点F，坐标为（2，－3）yx3方法二：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：∴E点的坐标为（－3，0）∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3）代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合∴存在点F，坐标为（2，－3）（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R），y117R1R2代入抛物线的表达式，解得MN②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0），R则N（r+1，－r），AOBxr1r117rMN2代入抛物线的表达式，解得117117D22∴圆的半径为或．（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，yx1易得G（2，－3），直线AG为．设P（x，x22x3），则Q（x，－x－1），PQx2x2．1SSS(x2x2)3APGAPQGPQ21x当2时，△APG的面积最大

411527,S的最大值为24APG此时P点的坐标为，8．随堂练习1．（2010江苏无锡）如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-4，0）和23（2，0），BC=．设直线AC与直线x=4交于点E．（1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点E；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N之间的一动点，求△CMN面积的最大值．yDCExAOBx=4【答案】解：（1）点C的坐标(2,23)．设抛物线的函数关系式为ya(x4)2m，16am0383a,m.4am2363则，解得383y(x4)2∴所求抛物线的函数关系式为63…………①4kb0343k,bykxb,2kb2333设直线AC的函数关系式为则，解得．34383yx(4,)∴直线AC的函数关系式为33，∴点E的坐标为338383y(44)2633把x=4代入①式，得，∴此抛物线过E点．（2）（1）中抛物线与x轴的另一个交点为N（8，0），设M（x，y），过M作MG⊥x轴于G，则S△CMN=S△MNG+S梯形MGBC—S△111(8x)y(y23)(x2)(82)23CBN=222

534333y3x833(x2x)3x83x253x83=632393(x5)2,=2293∴当x=5时，S△CMN有最大值21课下练习1．(本题满分12分)已知：如图一次函数y＝x＋1的图象与x轴交于点A，与y211轴交于点B；二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与一次函数y＝x＋1的图象交于B、C两22点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)求四边形BDEC的面积S；(3)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．第24题图1A(,0)yx2axbx2B(2,0)3．（2010山东临沂）如图，二次函数的图象与轴交于,两yC点，且与轴交于点.ABC（1）求该抛物线的解析式，并判断的形状；xA、C、D、B（2）在轴上方的抛物线上有一点D,且以四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；A、C、B、P（3）在此抛物线上是否存在点P,使得以四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由.

6第26题图1【答案】解：根据题意，将A（2,0）,B（2,0）代入y=-x2+ax+b中，11ab0,4242ab0.得3a,2b1.解这个方程，得全品中考网3所以抛物线的解析式为y=-x2+2x+1.当x=0时，y=1.所以点C的坐标为（0，1）。5OA2OC22所以在△AOC中，AC==.OB2OC25在△BOC中，BC==.152AB=OA+OB=22.1252AB24因为AC2+BC2=4.所以△ABC是直角三角形。

73,12（2）点D的坐标是.（3）存在。由（1）知，AC⊥BC,若以BC为底边，则BC∥AP,如图（1）所示，可求得直线BC的解析式为1yx12.直线AP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设1yxb直线AP的解析式为2，11图1将A（2,0）代入直线AP的解析式求得b=4,所11yx以直线AP的解析式为24.311x因为点P既在抛物线上，又在直线AP上，所以点P的纵坐标相等，即-x2+2x+1=24.51xx解得1222（不合题意，舍去）.53当x=2时，y=2.53所以点P的坐标为（2，2）.②若以AC为底边，则BP∥AC，如图（2）所示，可求得直线AC的解析式为y2x1.直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设y2xb直线BP的解析式为，将B（2,0）代入直线BP的解析式求得b=-4,所以直线BP的解析式为y=2x-4.图2因为点P既在抛物线上，又在直线BP上，所以点P

83的纵坐标相等，即-x2+2x+1=2x-45x,x2122解得（不合题意，舍去）.5当x=-2时，y=-9.5所以点P的坐标为（-2，-9）.535综上所述，满足题目的点P的坐标为（2，2）或（-2，-9）13x2x42(本题10分)如图，已知二次函数y=42的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．(1)点A的坐标为_______，点C的坐标为_______；(2)线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个?．解：（1）A（0，4），C（8，0）．…………………………………………………………2分（2）易得D（3，0），CD=5．设直线AC对应的函数关系式为ykxb，1b4,k,1则解得2∴yx4．……………………………………38kb0.2b4.分①当DE=DC时，∵OA=4，OD=3．∴DA=5，∴E（0，4）．………………………4分1115②当ED=EC时，可得E（，）．……………5分224③当CD=CE时，如图，过点E作EG⊥CD，EGCGCE则△CEG∽△CAO，∴．OAOCAC

9即EG5，CG25，∴E（825，5）．……………………………………6分3115综上，符合条件的点E有三个：E（0，4），E（，），E（825，5）．12243（3）如图，过P作PH⊥OC，垂足为H，交直线AC于点Q．131设P（m，m2m4），则Q（m，m4）．422①当0m8时，1311PQ=（m2m4）(m4)=m22m，422411SSS8(m22m)(m4)216，…………………………7分APCCPQAPQ24∴0S16；……………………………………………………………………………8分②当2m0时，1131PQ=（m4）(m2m4)=m22m，242411SSS8(m22m)(m4)216，APCCPQAPQ24∴0S20．………………………………………………………………………………9分故S16时，相应的点P有且只有两个．…………………………