人寿保险(PPT)

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1第五章人寿保险(rénshòubǎoxiǎn)了解传统个人寿险产品及其特点掌握定期寿险、终身寿险、两全保险(bǎoxiǎn)精算现值的计算能够利用寿险精算现值递推公式解决相关问题第一页，共四十二页。

1传统人寿保险(rénshòubǎoxiǎn)产品2传统个人寿险(shòuxiǎn)产品的被保险人是单个人，以被保险人在保险期内死亡或生存为保险赔付或给付条件，预先规定保险金额的水平及其给付方式，并根据经验生命表和预定利率等预先确定保费水平和保单退保现金价值。在实践中，传统个人寿险产品又分为定期寿险、终身寿险、两全保险等。第二页，共四十二页。

2定期(dìngqī)寿险3均衡保费定期寿险简称为定期寿险，保险费在约定的缴费期内均衡缴付，通常缴费期与保险期相同。递增保费定期寿险的保险费在缴费期内递增，在实践中常见的递增保费定期寿险是每年更新定期寿险。保额递减定期寿险的死亡赔付金额随着已投保时期的延长而降低，保险费通常采取均衡方式。实践(shíjiàn)中最常见的保额递减寿险是以抵押贷款余额为死亡赔付额，以还款期为保险期的定期保险。第三页，共四十二页。

3两全(liǎnɡquán)保险4定义：在规定的保险期内，如果被保险人死亡，保险人赔付死亡保险金，如果被保险人在保险满期存活，保险人给付生存保险金的保险产品。非分红保险根据精算假设和规定的保险金额确定保费和现金价值(jiàzhí)，投保人不分享公司红利。分红保险的投保人每年以红利方式分享公司利润的一局部，实际上相当于增加了保险金额，或者在规定的保险金额下减少了保险费。第四页，共四十二页。

4第二节死亡年年末赔付(péifù)寿险精算现值5引例(yǐnlì)：假设有100个40岁的人投保了1000元5年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末。如果预定年利率为3％，各年预计的死亡人数为分别为1、2、3、4、5人，这时，每年的赔付支出及其折现值如表4-1所示：一、定期(dìngqī)寿险第五页，共四十二页。

56将各年的赔付现值加总，可以(kěyǐ)得到发行100张保单的未来赔付支出现值〔元〕：所以，平均(píngjūn)每一保单的未来赔付现值为134.68元。这一现值被称为这一保单的精算现值。第六页，共四十二页。

6根本(gēnběn)符号(x)：x岁开始投保的人：对(x)的1单位(dānwèi)元死亡年年末赔付的n年期定期寿险的精算现值。：(x)在x+k~x+k+1岁间死亡，年末x+k+1岁上的1单位元赔付在利率i下折现到投保时的现值。：被保险人(x)在x+k~x+k+1岁间死亡的概率7第七页，共四十二页。

78定期寿险精算现值在投保时一次性缴清方式(fāngshì)的净保费称为趸缴净保费，也就是保单发行时的精算现值。：被保险人(bèibǎoxiǎnrén)(x)在x+k~x+k+1岁间死亡产生的死亡赔付期望现值由于投保人(x)可能在k=0,1,2,…,n-1上死亡，所以加总各年死亡赔付期望现值，就得到定期寿险(shòuxiǎn)在投保时的精算现值。第八页，共四十二页。

89从随机变量的概率分布角度(jiǎodù)进行分析：设〔x〕的整值余寿随机变量(suíjībiànliànɡ)为K(x),简记为K。以Z表示1单位元赔付现值随机变量，则如果赔付额依赖于余寿K，以表示赔付额函数，则对(x)的1单位元年末赔付(péifù)的n年定期寿险，其现值随机变量为又，K的概率分布函数为赔付现值的数学期望为第九页，共四十二页。

910例5.1某人40岁时投保了3年期10000元定期寿险，死亡赔付在死亡年年末。以中国(zhōnɡɡuó)人寿保险业经验生命表〔1990-1993〕(男女混合)和利率5％，计算趸缴净保费。解：趸缴净保费为第十页，共四十二页。

1011解：该生命表的最大年龄(niánlíng)是105岁，故t的取值范围是0到55，所求的赔付(péifù)现值是：其中(qízhōng)故该保单的趸缴净保费是第十一页，共四十二页。

11二、终身(zhōngshēn)寿险12Ax：对(x)的1单位元死亡年年末(niánmò)赔付的终身寿险的精算现值。由于投保人(x)可能在k=0,1,2……上死亡，因此，终身寿险精算现值Ax正是(x)在各年死亡赔付期望现值之和。注：上式的求和上限(shàngxiàn)实际为ω-x-1其中，ω是生命表极限年龄，ω-1是按生命表能够存活的最大年龄。第十二页，共四十二页。

121313解：该生命表的最大年龄(niánlíng)是105岁，故t的取值范围是0到55，所求的赔付(péifù)现值是：其中(qízhōng)故该保单的趸缴净保费是第十三页，共四十二页。

13141414解：由有故该保单(bǎodān)的精算现值是例5.4某人在40岁时买了保险额为20000元的终身寿险，假设他的生存函数可以表示为，死亡赔付在死亡年年末，i=10%,求这一保单的精算现值。代入数据(shùjù)，得第十四页，共四十二页。

14生存保险:n年纯生存保险精算现值。定义：n年纯生存保险是以满期被保险人仍然(réngrán)存活为给付条件的生存保险。15三、两全(liǎnɡquán)保险其现值随机变量(suíjībiànliànɡ)为精算现值第十五页，共四十二页。

15两全(liǎnɡquán)保险16定义：对(x)的1单位(dānwèi)元n年两全保险，是对(x)的n年定期寿险和n年纯生存保险的合险。：对(x)的1单位元n年两全保险精算现值。其现值随机变量(suíjībiànliànɡ)为精算现值第十六页，共四十二页。

1617解：死亡年末(niánmò)给付，求该保单的趸缴净保费。由例5.2、例5.3、例5.5可以(kěyǐ)看出第十七页，共四十二页。

1718转换(zhuǎnhuàn)函数为方便计算，传统的保险精算学引入了转换(zhuǎnhuàn)函数，转换(zhuǎnhuàn)函数本身没有直观的实际意义。生命表x岁存活人数每人1单位元在0岁的现值x到x+1岁死亡人数每人1单位元赔付在0岁的现值一些(yīxiē)用转换函数表示的精算公式从x岁起到生命表最大年龄岁上每人1单位元赔付在0岁的总现值第十八页，共四十二页。

18四、延期m年终身(zhōngshēn)寿险19定义：对(x)的1单位元m年延期(yánqī)终身寿险，是从x+m岁起到被保险人终身止的1单位元寿险。：对(x)的1单位元m年延期终身寿险的精算现值。终身寿险(shòuxiǎn)可以看成由一个n年定期寿险与一个延期n年终身寿险组合其随机变量为精算现值用转换函数表示为第十九页，共四十二页。

19五、延期m年的n年定期(dìngqī)寿险20定义：对(x)的1单位(dānwèi)元延期m年n年定期寿险是从x+m岁起到x+m+n年的定期寿险。：对(x)的1单位元延期m年n年定期寿险的精算现值。其随机变量(suíjībiànliànɡ)为精算现值用转换函数表示为第二十页，共四十二页。

2021例5.6某人在40岁时投保了一份寿险保单(bǎodān)，死亡年年末赔付，如果在40岁到65岁之间死亡，保险公司赔付50000元；在65岁到75岁之间死亡，受益人可领取100000元的保险金；在75岁之间死亡，保险金为30000元。利用转换函数写出保单精算现值的表达式。解：这份保单可分解成一份50000元的25年定期(dìngqī)寿险、一份100000元的延期25年的10年定期寿险、一份30000元的延期35年的终身寿险，故其精算现值为第二十一页，共四十二页。

21六、变额寿险(shòuxiǎn)22定义：标准递增的变额寿险，是赔付额bK+1=k+1，k是从投保开始(kāishǐ)到死亡存活的整数年数的变额寿险。现值随机变量(IA)x：标准递增的终身寿险的精算现值。〔一〕标准递增(dìzēng)变额寿险第二十二页，共四十二页。

2223：标准递增(dìzēng)的n年定期寿险的精算现值。第二十三页，共四十二页。

2324从标准递增定期寿险的意义出发，可以得出另外两个不同(bùtónɡ)的公式：n年标准递增的两全保险：是n年定期递增寿险精算(jīnɡsuàn)现值与n年n单位元纯生存保险现值之和。其精算现值为，第二十四页，共四十二页。

24标准(biāozhǔn)递减变额年金25定义：变额寿险(shòuxiǎn)当bK+1=n-k时，称为标准递减的定期寿险。：标准递减的定期寿险精算现值。第二十五页，共四十二页。

2526〔二〕一般(yībān)变额寿险一般(yībān)变额寿险的现值随机变量为对终身(zhōngshēn)寿险，其精算现值为它可以表示为一系列固定保额的延期终身寿险的组合：对n年定期寿险，有第二十六页，共四十二页。

2627例5.7对(x)的一份3年期变额寿险，各年的死亡(sǐwáng)赔付额和死亡(sǐwáng)概率如下表所示：k03000000.0213500000.0424000000.06假定预定利率(lìlǜ)为6%,计算这一保单的精算现值。解：所求现值为第二十七页，共四十二页。

2728第三节死亡时赔付(péifù)的寿险精算现值一、定期(dìngqī)寿险寿险一般是一被保险人死亡时赔付，这使赔付时间与被保险人的余寿相联系，设死亡时的赔付额函数为,则赔付的现值函数为，对1单位元死亡时赔付的n年定期寿险，其赔付现值随机变量为T(x)的概率密度函数为，且精算现值为第二十八页，共四十二页。

2829二、终身(zhōngshēn)寿险对1单位元死亡时赔付的终身(zhōngshēn)寿险，其赔付现值随机变量为精算(jīnɡsuàn)现值为例5.8某人在30岁时投保，假设生存函数在0～100之间均匀分布，Z为死亡赔付现值随机变量，已知利息力,求解：由于生存函数在0～100之间均匀分布，当x=30时，剩余寿命在[0,70]间均匀分布，概率密度f(t)=1/70,故第二十九页，共四十二页。

2930死亡时赔付的寿险精算现值，假设以积分的形式表示，那么在被保险人存活函数时才能直接估计出来。但实际中，通常只有生命表提供的整数(zhěngshù)年龄上的死亡概率，因此需要对前面的积分式进行变换。在死亡(sǐwáng)均匀分布假设下，有因此(yīncǐ)又故(称为调整因子)第三十页，共四十二页。

3031三、两全(liǎnɡquán)保险以表示1单位元死亡时赔付两全保险的精算现值，有在死亡(sǐwáng)均匀分布假设下，有第三十一页，共四十二页。

3132例5.9某人在30岁的时候投保了50000元30年两全(liǎnɡquán)保险，设预定利率为6%，以中国人寿保险业经验生命表〔1990-1993〕〔男女混合〕，求这一保单的趸缴净保费。解：在死亡(sǐwáng)均匀分布假设下，趸缴净保费为第三十二页，共四十二页。

3233例5.10在例5.9中，如果契约规定在投保前10年死亡赔付(péifù)50000元，后20年死亡赔付30000元，满期存活给付20000元，求这一保单的趸缴净保费。解：这是一个变额保险，可以(kěyǐ)分解为三局部，趸缴净保费为第三十三页，共四十二页。

3334四、变额寿险(shòuxiǎn)对于死亡时赔付的寿险，如果当(x)在投保当年死亡赔付1单位元，在第二年死亡赔付2单位元，在第k+1年内死亡赔付k+1单位元，这种寿险是标准递增寿险。此时，赔付额，t为死亡时间，方括号表示最大整数函数，死亡时赔付的终身递增寿险精算现值为：n年定期(dìngqī)的死亡时赔付标准递增寿险，其精算现值为:n年定期的死亡时赔付(péifù)标准递增寿险，其精算现值为:第三十四页，共四十二页。

34死亡均匀分布假设下的标准变额寿险(shòuxiǎn)公式终身递增(dìzēng)寿险：n年定期的死亡时赔付标准递增(dìzēng)寿险:n年标准递减的死亡时赔付寿险如果赔付额连续递增，这时的赔付现值随机变量为其精算现值表示为第三十五页，共四十二页。

35五、关于(guānyú)的计算36死亡时给付的寿险相当于把死亡发生年划分成m个相等的局部，在死亡发生的那个局部的期末给付，并对m趋于无穷大取极限(jíxiàn)。假设以表示在死亡发生的那个m局部末给付1单位元的终身寿险现值，那么，其中(qízhōng)第三十六页，共四十二页。

3637例5.11解：由第三十七页，共四十二页。

37第四节递推公式(gōngshì)38寿险现值的递推公式给出了相邻年龄上寿险现值的关系，为寿险现值的计算提供了一种工具，也有利于深入理解寿险现值的意义(yìyì)。对死亡年末赔付的1单位元的终身寿险，有，第三十八页，共四十二页。

3839证明(zhèngmíng)：故由于生命表最大年龄上的寿险现值为利用上面的递推公式(gōngshì)，可以从最大年龄出发，递推得到各个年龄上的寿险现值。这一公式的直观解释：年龄为x岁的趸缴净保费可以分解为在一年内死亡的赔付现值和一年后存活趸缴净保费这和。第三十九页，共四十二页。

3940再两边(liǎngbiān)乘以(1+i),有整理(zhěnglǐ)后，有证完。第四十页，共四十二页。

4041例5.12假设某人41岁时投保了1单位元的终身寿险，死亡(sǐwáng)年年末赔付。解：由公式(gōngshì)有第四十一页，共四十二页。

41内容(nèiróng)总结1。非分红(fēnhóng)保险根据精算假设和规定的保险金额确定保费和现金价值，投保人不分享公司红利。引例：假设有100个40岁的人投保了1000元5年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末。在投保时一次性缴清方式的净保费称为趸缴净保费，。由于投保人(x)可能在k=0,1,2,。由于投保人(x)可能在k=0,1,2。注：上式的求和上限实际为ω-x-1。有。定义：n年纯生存保险是以满期被保险人仍然存活为给付条件的生存保险第四十二页，共四十二页。