指数分布在嵌入马氏链构造中的应用

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1、第22卷第2期　　　　　　　怀化学院学报　　Vol1221No122003年4月JOURNALOFHUAIHUAUNIVERSITYApr.,2003数学前沿指数分布在嵌入马氏链构造中的应用向　阳,李玉梅(怀化学院数学系,湖南怀化　418008)摘　要:对于出现指数分布的过程,利用指数分布的无记忆性,结合实例,构造出了马氏更新过程,导出了其相伴的半马氏核和嵌入马氏链的转移阵1关键词:马氏更新过程;　半马尔可夫核;　指数分布中图分类号:O211　　　文献标识码:A　　　文章编号:1671-9743(2003)02-0023-031预备知识定义111设随机过程{X(t),t

2、≥0}取值于状态空间X={0,1,2,⋯⋯},0=t0

3、X0,⋯,Xn,t0,⋯tn)=P(Xn+1=j,tn+1-tn≤t

4、Xn)(111)我们就说过程{(Xn,tn),n≥0}构成一个具有状态空间X的马氏更新过程1假设过程是齐次的,即转移概率P(Xn+1=j,tn+1-tn≤t

5、Xn=i)=Qij(t)(112)与n无关1我们称转移概率簇Q={Qij(t),i,j∈X,t≥0}为空间X上的半马氏核1记Pij

6、=limQij(t)=P(Xn+1=j

7、Xn=i)(113)t→∞∞易知Pij≥0和∑Pij=11j=0定义112设随机过程{X(t),t≥0}的状态空间X={0,1,2,⋯}1如果它具有如下性质:当已知过程到达状态i时(1)过程下一次转移到状态j的概率是Pij,且∑Pij=11j(2)给定下一个状态j时,过程在原来状态i逗留时间有分布函数Fij(t)1则称随机过程{X(t),t≥0}为半马氏过程1由定义立得如下结论:结论111给定马氏更新过程{(Xn,tn),n≥0},则由X(t)=Xn,tn≤t

8、论112给定一半马氏过程{X(t);t≥0},则由这过程的状态转移时间t0,t1,t2,⋯和Xn=X(tn)(n≥0)确定的过程{(Xn,tn),n≥0}是一马氏更新过程1且随机过程{Xn,n≥0}是一马氏链,有转移概率矩阵(Pij),称此马氏链为半马氏过程{X(t);t≥0}的嵌入马氏链1收稿日期:2003-01-23作者简介:向阳(1970-),男,湖南溆浦人,怀化学院讲师,硕士,主要研究随机过程和风险理论1·24·怀化学院学报　　　　　　　　　　　　　　　　　　2003年4月2两个实例例211MPGP1排队系统假设顾客依照参数为λ的Poisson过程来到一个服务中

9、心,只有一个服务员,来客发现服务员空着马上得到服务,其他人排队等待直至轮到他们1相继的顾客的服务时间假定是独立的随机变量,具有共同有分布G,并假定服务时间与来到过程独立1以Z(t)记时刻t系统中的顾客人数,则{Z(t),t≥0}不具有马氏性1若我们只在顾客离去的时刻考察系统,用Xn表示第n个到达系统的顾客离开后余下的顾客数,n≥11令t0=0,t1,t2,⋯是顾客离开系统的时间序列,Tn=tn-tn-1是第n个顾客的服务时间,则{(Xn,tn),n≥0}是一马氏更新过程1对应的由(114)式确定的半马氏过程X(t)表示排队系统在时刻t前最近一次顾客离开时留在系统中的顾客

10、数1又以Yn表示第n+1个顾客受服务期间来到的顾客数1可知Xn-1+Yn,若Xn>0Xn+1=(211)Yn,若Xn=0由于顾客达到过程是Poisson过程,顾客到达间隔时间服从参数为λ的指数分布,由指数分布有无记忆性,知∞j-λx(λx)P{Yn=j}=edG(x),j=0,1,2⋯(212)∫0j!由(211)(212)得{Xn}是马氏链1对应的半马氏核为Qij(t)=P(Xn+1=j,Tn≤t

11、Xn=i)(213)当Xn=i>0时,因Yn=j-i+1≥0故有j≥i-1,此时Qij(t)=P(Xn+1=j,Tn≤t

12、Xn=i)=P(Yn=j-i+1,Tn≤t)tj-

13、i+1-λx(λx)=edG(x)(214)∫0(j-i+1)!当Xn=i=0时,Xn+1=Yn,故有Q0j(t)=P(Xn+1=j,Tn≤t

14、Xn=0)=P(Yn=j,Tn≤t)tj-λx(λx)=edG(x)(215)∫0j!综上所述,tj-λx(λx)edG(x),i=0,j≥0∫0j!tj-i+1Qij(t)=-λx(λx)(216)edG(x),i≥1,j≥i-1∫0(j-i+1)!0,其它由(113)式Pij=limQij(t)=P(Xn+1=j

15、Xn=i)立得嵌入马氏链的转移概率:t→∞∞j-λx(λx)edG(x),i=0