百钱百鸡问题

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百鸡问题公元5世纪末,我国古代数学家张丘建在他所撰写的《算经》中,提出了这样的一个问题:“鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一.百钱买百鸡,问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何?”意思是公鸡5元一只,母鸡3元一只,小鸡1元三只。用100元100只鸡,求公鸡、母鸡、小鸡各买几只。假设a为公鸡只数,b为母鸡只数,c为小鸡只数,如果把问题转化为n元钱买n只鸡,针对上述问题n=100,根据题意可得出下面的约束方程:用穷举法实现如下所示:

1图4.3穷举法求解百鸡问题这个算法有三重循环,枚举公鸡数量的外循环,枚举母鸡数量的中间循环以及枚举小鸡数量的内循环,主要执行时间取决于内循环的循环体的执行次数,需要执行(n+1)3次,当n=100时,内循环需要执行大于100万次。考虑到n元钱只能买到n/5只公鸡或n/3只母鸡,因此有些组合可以不必考虑,而小鸡的数目又取决于公鸡和母鸡的只数,上述的内循环可以省去。

2上述算法可以改为:图4.3改进算法求解百鸡问题改进算法只有两层循环,枚举公鸡数量的外循环和枚举母鸡数量的内循环,内循环的执行次数为(n/5+1)(n/3+1)。当n=100时,内循环执行21*34=714次,这和穷举算法的100万次相比,仅为原来的万分之七,有重大改进。

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