山东单招数学模拟试题及答案

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2017年山东单招数学模拟试题及答案一、填空题:(本大题共14小题，每小题5分,共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知集合≤，，则集合A中所有元素之和为▲．2．如果实数和非零向量与满足，则向量和▲．（填“共线”或“不共线”）．3．△中，若，,则▲．4．设，为常数．若存在，使得,则实数a的取值范围是▲．5．若复数，,，且与均为实数,则▲．6．右边的流程图最后输出的的值是▲．7．若实数、｛，，，}，且，则曲线表示焦点在轴上的双曲线的概率是▲．8．已知下列结论：①、都是正数,②、、都是正数，▲则由①②猜想:、、、都是正数9．某同学五次考试的数学成绩分别是120，129，121,125，130，则这五次考试成绩

1的方差是▲．10．如图,在矩形中，,，以为圆心，1为半径作四分之一个圆弧,在圆弧上任取一点，则直线与线段有公共点的概率是▲．第10题图11．用一些棱长为1cm的小正方体码放成一个几何体，图1为其俯视图，图2为其主视图，则这个几何体的体积最大是▲cm3．图1（俯视图）图2（主视图)第11题图12．下表是某厂1～4月份用水量（单位:百吨）的一组数据,月份1234用水量4。5432。5由其散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是▲．13．已知平面内一区域，命题甲：点;命题乙：点．如果甲是乙的充分条件，那么区域的面积的最小值是▲．14．设是椭圆上任意一点,和分别是椭圆的左顶点和右焦点，则的最小值为▲．二、解答题：（本大题共6小题，共90分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）ABCC1A1B115．(本小题满分14分)

2直三棱柱中，，．(1）求证：平面平面;（2）求三棱锥的体积．16．（本小题满分14分）某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0。5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．(1)求该企业使用该设备年的年平均污水处理费用（万元）；(2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？17．（本小题满分14分）如图，已知圆心坐标为的圆与轴及直线分别相切于、两点，另一圆与圆外切、且与轴及直线分别相切于、两点．（1）求圆和圆的方程；（2）过点B作直线的平行线，求直线被圆截得的弦的长度．18．（本小题满分14分）已知函数，．（1）求函数在内的单调递增区间；（2)若函数在处取到最大值,求的值；(3）若(），求证：方程在内没有实数解．（参考数据：，）19．(本小题满分16分)已知函数（）的图象为曲线．

3（1)求曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）若曲线上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围；（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点?如果存在，求出符合条件的所有直线方程;若不存在，说明理由．20．（本小题满分18分）已知数列的通项公式是，数列是等差数列,令集合，，．将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为．(1)若，，求数列的通项公式；(2）若，数列的前5项成等比数列,且，，求满足的正整数的个数．三、附加题部分（本大题共6小题，其中第21和第22题为必做题，第23～26题为选做题,请考生在第23～26题中任选2个小题作答，如果多做，则按所选做的前两题记分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）21．（本小题为必做题，满分12分）已知直线被抛物线截得的弦长为20,为坐标原点．（1）求实数的值;（2）问点位于抛物线弧上何处时，△面积最大？22．（本小题为必做题，满分12分）甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试,考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6，0。75．（1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；

4(2)设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为，求随机变量的期望．23．（本小题为选做题，满分8分）如图，在△中，是的中点，是的中点,的延长线交于.（1）求的值；（2）若△的面积为，四边形的面积为，求的值．24．(本小题为选做题，满分8分)已知直线的参数方程:(为参数）和圆的极坐标方程：．（1)将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；(2）判断直线和圆的位置关系．25．（本小题为选做题，满分8分)试求曲线在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M=，N=．26．（本小题为选做题,满分8分）用数学归纳法证明不等式:．参考答案一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．2．共线3．44．5．6．57．8．9．16。410．11．712．13．214．二、解答题:（本大题共6小题，共90分．)

515．（本小题满分14分）解：（1)直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥底面ABC,则BB1⊥AB，BB1⊥BC，—-——--—-—-——-—--—-—--—--——--———-——---—-————-————————-—-—----3分又由于AC=BC=BB1=1，AB1=，则AB=,则由AC2+BC2=AB2可知,AC⊥BC，-——-—--—--———-—--———---——-——-—-—-———-—-—-———6分又由上BB1⊥底面ABC可知BB1⊥AC,则AC⊥平面B1CB，所以有平面AB1C⊥平面B1CB；—-—--—---—-——--—-————---———-——-——-—---—————-——-——-9分（2）三棱锥A1—AB1C的体积．——--——-———14分（注:还有其它转换方法）16．（本小题满分14分）解：（1）即（)；—----——--—————-———-—--——---——-—--—-——————--—-—--7分(不注明定义域不扣分，或将定义域写成也行）(2）由均值不等式得：（万元）--————-—————-—--——-—-——11分当且仅当,即时取到等号．---—-—--——--——----———-—--—--—---———-——--13分答：该企业10年后需要重新更换新设备．------————-—-—-——---—-—---——--—---——-—-—-—14分

617．（本小题满分14分)解：（1）由于⊙M与∠BOA的两边均相切，故M到OA及OB的距离均为⊙M的半径，则M在∠BOA的平分线上，同理，N也在∠BOA的平分线上,即O，M，N三点共线,且OMN为∠BOA的平分线，∵M的坐标为，∴M到轴的距离为1，即⊙M的半径为1，则⊙M的方程为，---——-———-—-—---—--—--—----—--—-—---4分设⊙N的半径为，其与轴的的切点为C，连接MA、MC，由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM:ON=MA:NC,即，则OC=，则⊙N的方程为；-—-——----—----——8分(2）由对称性可知，所求的弦长等于过A点直线MN的平行线被⊙截得的弦的长度，此弦的方程是，即：，圆心N到该直线的距离d=，——--—----———-—-————--—-—-—---—-----—-————-——--11分则弦长=．---———————--———-——-—---—-——————-——---———-——-—-——----14分另解：求得B(）,再得过B与MN平行的直线方程，圆心N到该直线的距离=，则弦长=．（也可以直接求A点或B点到直线MN的距离，进而求得弦长)18．（本小题满分14分）

7解：（1），令(）则，-————---————————---——--————-—————————-—--—-—--——2分由于，则在内的单调递增区间为和；——--—-—----——-—4分(注：将单调递增区间写成的形式扣1分）（2）依题意，（）,-————-——---——------———-——--—--—--—----——--6分由周期性,；—-—-——--—-—--—-——8分(3）函数（）为单调增函数，且当时，，，此时有；--—-------—--10分当时，由于,而，则有，即,又为增函数,当时，—--—--12分而函数的最大值为，即,则当时，恒有，综上,在恒有，即方程在内没有实数解．-——————--—--——-——------—-------------——--—-———-—-———--——-——--———-----——-—-—--———-—————-—-——-14分19．（本小题满分16分）

8解：(1）,则，即曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围是；—-—-——---—-—4分（2）由（1）可知，—-—--———-—--—-——---——-—-—————--—---—--——————--——-—-——----6分解得或,由或得:;——----—-—-——---—-—-—-----——————9分（3)设存在过点A的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B,，则切线方程是：，化简得：，-—-------—----—————-——---—11分而过B的切线方程是，由于两切线是同一直线，则有：，得，—---——--—-———-—-——---—13分又由,即，即即，得,但当时，由得,这与矛盾。所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点。———--—----—-———-—-—----——-—-—----—16分20．(本小题满分18分）解:（1）若，因为5,6，7，则5，6，7，

9由此可见,等差数列的公差为1，而3是数列中的项，所以3只可能是数列中的第1,2，3项，若，则，若，则，若，则；——-----—-—-——————-———--—-——-———-—--——----————-—--—--—-—-——-4分（注：写出一个或两个通项公式得2分，全部写出得4分）（2）首先对元素2进行分类讨论：①若2是数列的第2项，由的前5项成等比数列，得，这显然不可能;②若2是数列的第3项，由的前5项成等比数列,得,因为数列是将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的，所以，则，因此数列的前5项分别为1，,2，，4,这样，则数列的前9项分别为1，，2，，4,,，，8，上述数列符合要求；—-—----——-—-—-———-———----——-————-—-—-——-————---—-——-----—10分③若2是数列的第项(）,则，即数列的公差，所以，1,2，4<，所以1，2,4在数列的前8项中，由于，这样,，，…，以及1,2，4共9项,它们均小于8，即数列的前9项均小于8,这与矛盾。

10综上所述，，—---—-------——-——----—--—————----———--———--—--—---——-———-12分其次，当时，，，，--—————--———-—-————---—--——-—————-—--—————-14分当时，,因为是公差为的等差数列，所以,-———---——-------————-—--—-—--—---——-—————-—-—----———---—-—16分所以，此时的不符合要求。所以符合要求的一共有5个.--—--—-—-—-————----18分三、附加题部分：21．(必做题）（本小题满分12分）解：（1）将代入得，—---—-———-——-—---—--—-2分由△可知，另一方面，弦长AB，解得;-——----—-----6分（2）当时,直线为，要使得内接△ABC面积最大，则只须使得，--——-—-———-——-———-—-—---——————---—----—---—-—--10分即，即位于(4，4）点处．--————————-—-—--————---——----—-——-—--—-—12分22．（必做题）（本小题满分12分）解：（1）分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件、、；

11表示事件“恰有一人通过笔试”则———------——-——-—————--—-—---—-——-—-—--------———-—--—----—-—----————-—6分（2）解法一：因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的概率均为，—-————-——-—-----———---——-—--—---——---———-——--—-——--——-———----—-———--—9分所以,故．——-------———-12分解法二：分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件，则所以,，．于是，．23．（选做题）（本小题满分8分）证明：(1）过D点作DG∥BC，并交AF于G点，—-—---—-———-—--—--—-—---—2分∵E是BD的中点，∴BE=DE，又∵∠EBF=∠EDG，∠BEF=∠DEG，∴△BEF≌△DEG，则BF=DG,∴BF：FC=DG:FC，又∵D是AC的中点，则DG：FC=1:2，

12则BF：FC=1:2;-——-—-—-————---—---——-—-—-——----————-—-—-—---—4分（2）若△BEF以BF为底，△BDC以BC为底，则由（1）知BF：BC=1：3,又由BE：BD=1:2可知：=1:2，其中、分别为△BEF和△BDC的高，则，则=1：5．-——————-——-——-—-—--————8分24．(选做题）（本小题满分8分)解:（1）消去参数，得直线的普通方程为；—-—————————---—-—-—-——-2分即，两边同乘以得,消去参数,得⊙的直角坐标方程为：———---——-—---—-——----—--—--—---————-——————------—-—-—---—--—-—4分（2）圆心到直线的距离，所以直线和⊙相交．-—-—-—-———--—-—-—-——-———-—--———--—--———8分25．（选做题）(本小题满分8分)解：MN==,—--——-———--—-----——-———————--——--——-———----------—-4分即在矩阵MN变换下，——-—---————-———--—---——————------——--6分则，

13即曲线在矩阵MN变换下的函数解析式为．—————---——8分26．（选做题）(本小题满分8分）证明：（1）当时，左边＝，时成立—--—---——-2分（2）假设当时成立，即那么当时，左边时也成立-——--————-—--—--——-——---——--——--—---——-—-——-—---—-7分根据（1)（2）可得不等式对所有的都成立——-———--———-—-—--——---—-——————-—-—8分