利用导数探究f(x)是否穿过x轴单调的策略_数学_自然科学_专业资料

《利用导数探究f(x)是否穿过x轴单调的策略_数学_自然科学_专业资料》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、中学数学杂志２０１４年第９期ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ利用导数探究ｆ（ｘ）是否穿过ｘ轴单调的策略云南省玉溪第一中学６５３１００武增明在高中数学中，有一类函数问题需要利用导数方是穿过ｘ轴的单增？ｆ（ｘ）在［ｅ，＋∞）上是否是穿过ｘ法探究函数ｆ（ｘ）在区间Ｄ上是否穿过ｘ轴单调递增或轴的单减？单调递减．对此类问题，许多学生找不到突破口，甚至１ｌｎｘ因为ｆ（ｅ）＝＞０，ｆ（１）＝０，且ｘ＝０时，方程＝束手无策．以下结合实例探讨判断函数ｆ（ｘ）在区间Ｄｅｘ上是否穿过ｘ轴单调递增或单调递减的策略．ｌｎｘ０

2、无实根，即函数ｆ（ｘ）＝无意义（不存在），所以ｆ（ｘ）１判断函数ｆ（ｘ）的值的符号ｘｘ在（０，ｅ］上是穿过ｘ轴的单增，且ｘ＝０（ｙ轴）是函数例１已知ａ∈Ｒ，关于ｘ的方程＝ａ最２ｆ（ｘ）的图象的一条渐近线．ｘ＋ｘ＋２多有（）个实数解．１因为ｆ（ｅ）＝＞０，在［ｅ，Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４ｅｘ＋∞）上，ｆ（ｘ）＞０，所以ｆ（ｘ）解析原题可转化为函数ｆ（ｘ）＝与ｙ＝ｘ２＋ｘ＋２在［ｅ，＋∞）上是没有穿过ｘｘ轴的单减，且ｙ＝０（ｘ轴）是函ａ的交点问题．对函数ｆ（ｘ）＝求导后得ｆ′（ｘ）ｘ２＋ｘ＋２数ｆ（ｘ）在区间

3、［ｅ，＋∞）上的图２２－ｘ２图象的一条渐近线，如图２，于＝，由此可得，ｆ（ｘ）在（－∞，－２］，［２，（ｘ２＋ｘ＋２）２ｌｎｘ是由函数ｆ（ｘ）＝的图象与直线ｙ＝ａ有且只有一个ｘ＋∞）上单调递减，ｆ（ｘ）在［－２，２］上单调递增．交点得ａ≤０．故实数ａ的取值范围是ａ≤０．下面我们要关心的问题是，ｆ（ｘ）在（－∞，－２］，评注上述例１、例２是两道典型的具有代表性的［２，＋∞）上单调递减是穿过ｘ轴单调递减吗？易错题，错因是判断函数ｆ（ｘ）的图象的变化趋势不准２因为ｘ取一切实数，ｘ＋ｘ确．＋２＞０恒成立，所以ｘ∈

4、（－３极限思想∞，－２］时，ｆ（ｘ）＜０；ｘ∈例３已知当ｘ∈［０，＋∞）时，关于ｘ的不等式２［２，＋∞）时，ｆ（ｘ）＞０，故ａｘ－ｘ＋ｌｎ（ｘ＋１）≤０恒成立，求实数ａ的取值范围．２ｆ（ｘ）在（－∞，－２］，［２，＋图１解析设ｆ（ｘ）＝ａｘ－ｘ＋ｌｎ（ｘ＋１），ｆ′（ｘ）＝ｘ［２ａｘ＋（２ａ－１）］∞）上都不是穿过ｘ轴的单调．ｘ＋１递减，其模拟图象如图１，于是直线ｙ＝ａ与函数ｙ＝ｆ（ｘ）－ｘ最多有２个不同的交点，故选Ｂ．若ａ＝０，则ｆ′（ｘ）＝＜０．ｆ（ｘ）在［０，＋∞）上ｘ＋１评注此题用极限思想也可以判

5、断函数ｆ（ｘ）在单调递减，又ｆ（０）＝０，如图３，所以ａ＝０符合题意．单调区间（－∞，－２］，［２，＋∞）上的图象的走向．２判断函数ｆ（ｘ）的值的符号与极限思想并用ｌｎｘ例２已知关于ｘ的方程＝ａ有且只有一个实ｘ数根，求实数ａ的取值范围．解析原题可转化为函数ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ与ｙ＝ａ的交图３图４ｘ１－２ａ１１－ｌｎｘ若ａ＞０，则当＜０⇒ａ＞时，ｆ（ｘ）在［０，点问题．因为ｆ′（ｘ）＝，注意到定义域是（０，＋２ａ２２ｘ１∞），所以由此可得，ｆ（ｘ）在（０，ｅ］上单调递增，ｆ（ｘ）在＋∞）上单调递增，又ｆ（０）＝

6、０，如图４，所以ａ＞不２［ｅ，＋∞）上单调递减．符合题意．下面我们要关心的问题是，ｆ（ｘ）在（０，ｅ］上是否４５ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ中学数学杂志２０１４年第９期ｘ１－２ａ１２ａｅ＋ｘ＜０．当≥０⇒０＜ａ≤时，ｆ（ｘ）在２ａ２１２ｘｘ令ｆ（ｘ）＝（ａ－）ｅ－２ａｅ＋ｘ，é１－２ａùé１－２ａö２êê０，úú上单调递减；在êê，＋∞÷上单调递２ｘｘｘë２ａûë２ａøｆ′（ｘ）＝（２ａ－１）ｅ－２ａｅ＋１＝（ｅ－１）［（２ａ－ｘ增，又ｆ（０）＝０，这时，我们要关心的问题是，ｆ（ｘ）在１）ｅ－１

7、］．é１－２ａö１êê，＋∞÷上是穿过ｘ轴递增吗？若２ａ－１≤０⇔ａ≤．ë２ａø２１此时，在区间（０，＋∞）上恒有ｆ′（ｘ）＜０，从而因为ｘ→＋∞时，ｆ（ｘ）→＋∞，所以０＜ａ≤不２ｆ（ｘ）在区间（０，＋∞）上是减函数；要使ｆ（ｘ）＜０在区ｘ［２ａｘ＋（２ａ－１）］间（０，＋∞）上恒成立，只需满足ｆ（０）≤０，其模拟图如符合题意．若ａ＜０，则ｆ′（ｘ）＝＜０．ｘ＋１１１图６，ｆ（０）≤０⇒－ａ－≤０⇒ａ≥－，由此求得ａ所以ｆ（ｘ）在［０，＋∞）上单调递减，如图３，又ｆ（０）＝０，２２故ａ＜０符合题意．é１

8、１ù的取值范围是êê－，úú．综上，实数ａ的取值范围是ａ≤０．ë２２û１－２ａ１评注当≥０⇒０＜ａ≤时，利用零点思２ａ２é１－２ａö想也可判断ｆ（ｘ）在êê，＋∞÷上是穿过ｘ轴单调ë２ａøé１－２ａö递增，因为ｆ（ｘ）在êê，＋∞÷上单增，且ë２ａø１－２ａ２１－２ａ２图６图７２ｆ（）＜０，取ａ＝，则＝４，ｆ（ｘ）＝ｘ－ｘ２ａ５２ａ５１若２ａ－１＞０⇒ａ＞．１－２ａ２＋ｌｎ（ｘ＋１），ｆ（５）＝５＋ｌｎ６＞０，从而ｆ（ｘ）在［