第十五章-虚-位-移-原-理

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1、第三部分动力学第十五章虚位移原理一、基本要求1．掌握约束、虚位移、虚功和理想约束的概念。2．会应用虚位移原理求解质点系的平衡问题。二、理论要点1．几个基本概念ò约束限制质点或质点系运动的条件称为约束，表示这些限制条件的数学方程称为约束方程。从不同的角度把约束分类，可分为几何约束和运动约束、定常约束和非定常约束、单侧（面）约束和双侧（面）约束、完整约束和非完整约束等。在虚位移原理的应用中，一般仅讨论定常、完整、双侧（面）约束。说明：在静力学中已有约束的概念，当时主要是指限制刚体位移的周围物体。而这里对约束的概念进行了扩充，指限制质点或质点系运动的各种条件，不仅

2、包含位移，还有速度等限制条件。ò虚功在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可能实现的无限小位移称为虚位移。虚位移可以是线位移，也可以是角位移。虚位移一般用变分符号δ表示，而微分符号d表示微小的实位移。ò虚位移力在虚位移中作的功称为虚功。记为δW=F⋅δr说明：因为虚位移是假想的，不是真实发生的，所以虚功也是假想的，虚的。对于静止的系统，不会有实位移，也不会有实功，但可以有虚位移，可以有虚功。1ò理想约束如果在质点系的任何虚位移中，所有约束力所作虚功的和等于零，称这种约束为理想约束。可用数学公式表示为δWN=∑FNi⋅δri=0在静力学中所讲到的光滑固定面约束、

3、不可伸长的柔索、光滑铰链、刚性二力杆、固定铰链支座和固定端等约束均为理想约束。2．虚位移原理ò虚位移原理对于具有理想约束的质点系，其保持平衡的充分必要条件是，作用于质点系上的所有主动力在任何虚位移中所作虚功的和等于零，称此结论为虚位移原理，也称为虚功原理。虚位移原理的几何表达式为δWF=∑Fi⋅δri=0虚位移原理的解析表达式为∑(Fxiδxi+Fyiδyi+Fziδzi)=0应用以上两式解题的方法分别称为几何法和解析法。说明：（1）应用虚位移原理的条件是质点系具有理想约束，但对于具有非理想约束的质点系（如有摩擦的情况），只要把非理想约束力（如摩擦力）当作主

4、动力，在虚功方程中计入非理想约束力的虚功即可。（2）虚位移原理也可用于求解约束力只要解除约束，代之以相应的约束力，并把约束力当作主动力即可。但是，通常一次只能解除一个约束，以便构成一个自由度的机构。ò各虚位移间关系的确定应用虚位移原理解题时，列出虚功方程后，关键是确定各虚位移之间的关系。主要方法有以下三种：（1）几何法：利用系统的几何关系来确定各虚位移之间的关系，通常情况下是寻找虚位移之间的比值关系。（2）虚速度法：可以认为质点系上某点的虚位移是在某个极短时间δt内发生的，此时虚位移与δt的比值称为该点的虚速度。利用运动学方法很容易建立各虚速度之间的关系，由

5、此可以建立各虚位移之间的关系。（3）解析法：在质点系中建立固定直角坐标系，把作虚功的主动力作用点的直角坐标表示为某些独立参数（即广义坐标）的关系式，然后进行变分运算，可2以建立各虚位移之间的关系。三、重点难点1．重点（1）虚位移、虚功的概念；（2）虚位移原理及其应用。2．难点各虚位移之间的关系的确定。四、学习建议1．本章内容是用动力学的方法求解静力学问题，与静力学问题求解不同之处在于，不需要列平衡方程，而是要计算系统中各主动力所作的虚功，所以对力的虚功和力偶的虚功计算一定要熟练。2．用虚位移原理解题时，有些题适用于用几何法（虚速度法）求解，有些题适用于用解析

6、法求解。用几何法（虚速度法）求解时，各参与作功的主动力在所给虚位移中作正功还是负功，一般可以直观看出，因此虚功方程容易列，重点和难点是找出各虚位移之间的关系。而用解析法求解时，在建立坐标系后，列虚功方程时一般不需考虑各主动力作正功还是负功，只要写出各主动力的投影（代数值），而各点坐标均按正常方法表示，然后把各坐标进行变分运算，直接代入虚功方程的解析式即可3．从理论上讲，虚位移原理可求解任何静力学问题，但从实用上来说，并不是对所有题目都方便。比如要求多个约束力时，则需要一个一个地解除约束，多次用虚位移原理求解，这样有时并不方便，还不如用平衡方程求解，反而简便。

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