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1、等价无穷小量研究毕业论文目录1引言12等价无穷小量的概念及其重要性质12.1等价无穷小量的概念12.2等价无穷小量的重要性质22.3等价无穷小量性质的推广23等价无穷小量的应用53.1求函数的极限53.2等价无穷小量在近似计算中的应用63.3利用等价无穷小量和泰勒公式求函数极限63.4等价无穷小量在判断级数收敛中的应用74等价无穷小量的优势84.1运用等价无穷小量求函数极限的优势…………………………………………....................84.2等价无穷小量在求函数极限过程中的优势………………………………………..
2、.............95结论12参考文献13致谢14141引言等价无穷小量概念是微积分理论中最基本的概念之一,但在微积分理论中等价无穷小量的性质仅仅在“无穷小的比较”中出现过,其他地方似乎都未涉及到.其实,在判断广义积分、级数的敛散性,特别是在求极限的运算过程中,无穷小具有很好的性质,掌握并充分利用好它的性质,往往会使一些复杂的问题简单化,可起到事半功倍的效果,反之,则会错误百出,有时还很难判断错在什么地方.因此,有必要对等价无穷小量的性质进行深刻地认识和理解,以便恰当运用,达到简化运算的目的.2等价无穷小量的概念及其重
3、要性质这部分在同济大学应用数学系主编的«高等数学»、华东师范大学数学系的«数学分析»、马振明老师和吕克噗老师的«微分习题类型分析»、张云霞老师的«高等数学教学»以及SongQB,ShenJY.Onillegalcopinganddistributingdetectionmechanismfordigitalgoods[J].JournalofComputerResearchandDevelopment中做了详细的讲解,下面是我对这部分的理解与总结.推广部分的性质在书中未做证明,根据所学的知识以及数学方法我对其进行了证明.2.1
4、等价无穷小量的概念定义若函数(包括数列)在某变化过程中以零为极限,则称该函数为这个变化过程中的无穷小量.如函数,sinx,1-cosx,ln(1+x)均为当x→0时的无穷小量.对于数列只有一种情形,即n→∞,如数列{}为n→∞时的无穷小量或称为无穷小数列.注意：1)绝对值非常小的数不是无穷小量,0是唯一的是无穷小量的数;无穷小量无限趋近于0而又不等于0.2)无穷小量是变量,与它的变化过程密切相关,且在该变化过程中以零为极限.如函数当x∞时的无穷小量,但当x1时不是无穷小量.3）两个（相同类型）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量.
5、4）无穷小量与有界量的乘积为无穷小量.无穷小量的比较141)若存在正数K和L,使得在某上有,则称与为当时的同阶无穷小量.特别当则称与是同阶无穷小.2)若=1,则称与是等价无穷小量,记为～.3)若=0,则称是高阶无穷小,记作=.注:并不是任意两个无穷小均可比较,如当x→0时,与都是无穷小量,但它们不能进行阶的比较.等价无穷小量的重要性质设α,α′,β,β′,γ等均为同一自变量变化过程中的无穷小,①若α～α′,β～β′,且lim存在,则lim=lim（）②若α～β,β～γ,则α～γ.性质①表明等价无穷小量量的商的极限求法.性质②表
6、明等价无穷小量的传递性.2.3等价无穷小量性质的推广α～α′,β～β′,且lim=c(≠-1),则α+β～α′+β′.证明因为lim=14所以α+β～α′+β′.而学生则往往在性质(3)的应用上忽略了“lim=c(≠-1)”这个条件,千篇一律认为“α～α′,β～β′,则有α+β～α′+β′在同一变化过程中,～,～,且存在,则=.证明因为===.故结论得证.若α～α′,β～β′,且lim′存在,则当≠0且lim存在,有lim=lim′.证明因为,又α～α′,β～β′,于是,,,从而14=1,即～同理可证～.故命题得证.设在自变量
7、的某一变化过程中,、、及、、都是无穷小量.①若～、～、且存在且,则有～.②若～、～、且存在且,则有～.③若～、～、～且存在且,则有.证明①因为==.又因为,故上式等于1.②因为14==.又因为,故上式等于1.③要证成立,只需证,因为～,～,所以结论得证.性质（1）、（3）的求极限中就使等价无穷小量的代换有了可能性,从而大大地简化了计算.但要注意条件“lim=c(≠-1)”,“≠0”的使用.注意1）需要注意的是在运用无穷小替换解题时,等价无穷小量一般只能在对积商的某一项做替换,和差的替换是不行的.2）以上性质说明我们利用无穷小量
8、的代换性质将无穷小的等价替换推广到和与差的形式,并对的不定式极限的求解作了简化,使其适用的函数类范围扩大,从而简化函数极限的运算过程,对不定式极限的求解有很大的意义.3等价无穷小量的应用等价无穷小量的应用在冯录祥老师的«关于等价无穷小量量代换的一个注记»、王斌老师的«用罗比塔
