北京科技大学部分量子力学作业试题汇总

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1、黑体辐射：假设恒星可按绝对黑体处理，估算恒星表面温度为多少时，恒星发出的辐射可使其周围的氢电离。（维恩位移定律：，氢原子第一电离能：13.6eV）Solution：根据氢原子的玻尔理论，氢原子的电离能是13.6eV，即：，，，，即恒星表面温度为3万开尔文数量级时，可使其周围的氢原子电离。波粒二象性：我们一般用X射线衍射技术或电子衍射技术探测晶体的微观结构，已知晶体中相邻原子的间距为1埃（米）左右，（i）求能够成功探测晶体结构X射线的频率是多少？（ii）能够成功探测晶体结构高能电子的能量是多少？解：若能成功探测晶体结构，则X射线及电子物质波波长应也在1埃左右，光速：，频率为：，普

2、朗克常数：，能量：，，电子质量：，电子速度：，相对论效应可忽略。电子能量：薛定谔方程：质量为的一个粒子在边长为的立方盒子中运动，粒子所受势能由下式给出：；（i）列出定态薛定谔方程，并求系统能量本征值和归一化波函数（10分）；（ii）假设有两个电子在立方盒子中运动，不考虑电子间相互作用，系统基态能是多少？并写出归一化系统基态波函数（提示：电子自旋为，是费米子）；（iii）假设有两个玻色子在立方盒子中运动，不考虑玻色子间相互作用，系统基态能是多少？并写出归一化系统基态波函数；解：（2.i）定态薛定谔方程：分离变量：，；；，（2.ii）电子是费米子，波函数应是反对称的：由于自旋部分波

3、函数可取反对称，轨道部分波函数可以取对称的，即轨道部分可取相同的态；基态：，基态波函数：（2.iii）玻色子可占据相同态，基态：，基态波函数：有限深势阱：粒子在如图深度为，宽度为的有限深势阱中运动。[1]（20分）求当阱口恰好有一个束缚态能级（即：）的条件；[2]（10分）不考虑归一化，定性地画出此时波函数的曲线。解：【1】粒子位于阱内时，波函数为正弦或余弦型的，位于阱外时，由于我们考虑的是束缚态，所以是e指数衰减型的（当x趋于正负无穷时，波函数趋于零）。如果考虑阱口恰好有一个束缚态能级，相当于指数衰减因子是趋于零的，即阱外波函数趋于常数，。由于我们考虑的是一维具有对称性的势阱

4、，即：，波函数应具有确定的奇偶性，即：波函数应为奇函数或偶函数。（这里波函数未写成归一化形式），边界条件：连续，连续即阱口恰好出现束缚能级的条件是：，即：。由于一维有限深势阱中至少有一个束缚态，因此当时，势阱中只有一个束缚态（是偶宇称的）。【2】定性画出波函数曲线：阱内为正弦或余弦曲线，阱外为直线，并使阱内阱外曲线平滑地连接起来。势垒散射：质量为的电子以动能由左向右入射到高度为（）的台阶势上，在台阶势的跃起处考虑还存在势：，（）的散射，即电子所受势能为，这里，为单位阶跃函数；（i）列出定态薛定谔方程及波函数导数在两侧的跃变条件；（ii）求电子在处的透射系数，和反射系数；解：（3

5、.i）定态薛定谔方程：；化简为：，在两侧邻域积分：，，即在两侧不连续；（3.ii）在的区域，定态薛定谔方程可分为，两个区域考虑：其解可表示为：，求导：根据处的连续，和跃变条件得到：，即：消去：，即：所以：根据粒子流密度公式：，反射系数：透射系数：可以验证：算符运算：在坐标表象中位置算符：，动量算符：。[1]（10分）计算：[2]（10分）利用的结果，计算角动量算符对易关系：，，[3]（10分）利用，，的结果，计算（）解：【1】；【2】，，；【3】角动量：已知角动量本征值问题：，，定义：，，可解释为升算符，使本征值增加，可解释为降算符，使本征值减少。（i）和是否为厄密算符；（ii

6、）计算（iii）计算：解：，因此：，角动量：对于的共同本征态，（i）计算，，，；（ii）并验证不确定关系：。Solution：，，因此：因此：；利用：类似地：，这里：，因此：时等号成立。因此：角动量：角动量为1（），的共同本征函数是：[1]（15分）求的共同本征函数，并把它们表示为的线性叠加。[2]（15分）对于，求力学量的可能测量值及相应概率。解：【1】作如下坐标变换：，则x轴相当于z轴，因此：选取适当的相位因子后，的共同本征函数可重新写为：【2】根据上问结果，，因此力学量的可能测量值是，概率均为50%。线性谐振子：一维线性谐振子的哈密顿：，与满足对易关系：；引入算符：，线性

7、变换：。计算：(i)对易关系：；(ii)将用表示，并求出基态能及能级的一般表达形式。解：（1）（2），，线性谐振子：。使用占有数表象，哈密顿可写为：。这里是湮灭算符，是产生算符：[1]（10分）把位置算符，动量算符表示为产生算符，湮灭算符的形式；[2]（10分）考虑一维线性谐振子的基态，使用占有数表象求：，，，；[3]（10分）使用占有数表象分别对一维线性谐振子的基态和激发态，验证它们都满足海森堡不确定关系。【1】【2】【3】基态：激发态：泡利矩阵：单位向量位于x-z平面上与z轴成角，（i）