《平面向量和数形结合》（微课）

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1、平面向量和数形结合长沙艺术实验学校李理【题】已知平面向量，满足，求的取值范围。（这道题来自人教版(A版)必修4第二章习题2.4）一、认识原题本题从知识层面上看主要考查向量模的概念及运算，其中已知条件“”是两个等量关系，而所求的“的取值范围”是一种不等量关系，因此如何将条件进行有效转化，使等量关系转化为不等量关系是解决这道题的难点，也是寻找解题思路的方向。二、解题方法解法一：不等式法——本解法主要涉及了“向量的三角不等式”。解法二：几何法当不共线时，可构成三角形，如图根据三角形三边关系，可得：当共线时，可得：或6。——本解法主要涉及了“平面向量的几何表示”。解

2、法三：数量积法两边平方得：整理得：解得：——本解法主要涉及了“平面向量模与数量积关系的转化”。解法四：坐标法若记，则，以ON所在直线为x轴，以0为坐标原点建立直角坐标系，则可求得点M的轨迹方程为，则的取值范围为。——本解法主要运用了“平面向量的坐标表示”。三、背景来源高考考试说明在平面向量部分指出向量一方面具有“形”的特征：方向、位置、长度和夹角等；另一方面，又具有“数”的属性：大小、正负、可进行运算等.向量这种“数”与“形”的双重性，使它成为解决数学问题的有力工具，被广泛应用于解决代数、三角、几何等问题中。我们设计的这道模拟题的四种解法正好充分体现了平面向

3、量融数、形于一体，具有代数与几何的双重属性这一特点。本题的最初来源是“阿波罗尼斯圆”，即三角形的一边为定值，另两边的比值为定值的动点轨迹。四、延伸拓展1.结论的延伸（2008江苏）满足条件的三角形ABC面积的最大值是_______________2.题设的推广(2010浙江）已知平面向量，，满足，且与的夹角为，则的取值范围3.整体的拓展（2013湖南）已知是单位向量，，若向量满足，则的最大值是_______________。(2014湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，，动点D满足的取值范围。4.高考动向纵观近三年各省（特别是湖南省）的高考，对平面向量的考查

4、,内容从原来的简单概念和基本运算，逐步发展为与三角、解析几何、不等式等整合的综合问题（比如2014年湖南省20题的第（2）问）。以几何为背景，“平面向量”为载体，代数运算为手段来考查学生综合应用数学知识的能力，题型新颖、灵活、多变，成为高考卷的新亮点。   [结语]数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休。切莫忘，几何代数统一体，永远联系莫分离。——华罗庚