解析几何全册课件

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解析几何课件(第四版)第四章柱面锥面旋转曲面与二次曲面第五章二次曲线的一般理论第一章向量与坐标第三章平面与空间直线第二章轨迹与方程 第一章向量与坐标§1.1向量的概念§1.3数量乘向量§1.2向量的加法§1.4向量的线性关系与向量的分解§1.6向量在轴上的射影§1.5标架与坐标§1.7两向量的数量积§1.9三向量的混合积§1.8两向量的向量积 第二章轨迹与方程§2.1平面曲线的方程§2.2曲面的方程§2.3空间曲线的方程 第三章平面与空间直线§3.1平面的方程§3.3两平面的相关位置§3.2平面与点的相关位置§3.4空间直线的方程§3.7空间两直线的相关位置§3.5直线与平面的相关位置§3.6空间直线与点的相关位置 第四章柱面锥面旋转曲面与二次曲面§4.1柱面§4.3旋转曲面§4.2锥面§4.4椭球面§4.5双曲面§4.6抛物面 第五章二次曲线的一般理论§5.1二次曲线与直线的相关位置§5.3二次曲线的切线§5.2二次曲线的渐近方向、中心、渐近线§5.4二次曲线的直径§5.6二次曲线方程的化简与分类§5.5二次曲线的主直径和主方向 定义1.1.1既有大小又有方向的量叫做向量，或称矢量.向量既有大小又有方向的量.向量的几何表示：||向量的模：向量的大小.或或两类量:数量(标量):可用一个数值来描述的量;有向线段有向线段的方向表示向量的方向.有向线段的长度表示向量的大小,§1.1向量的概念返回下一页 所有的零向量都相等.模为1的向量.零向量：模为0的向量.单位向量：定义1.1.2如果两个向量的模相等且方向相同，那么叫做相等向量.记为＝定义1.1.3两个模相等，方向相反的向量叫做互为反向量.上一页下一页返回 零向量与任何共线的向量组共线.定义1.1.4平行于同一直线的一组向量叫做共线向量.定义1.1.5平行于同一平面的一组向量叫做共面向量.零向量与任何共面的向量组共面.上一页返回 OAB这种求两个向量和的方法叫三角形法则.定理1.2.1如果把两个向量为邻边组成一个平行四边形OACB，那么对角线向量§1.2向量的加法下一页返回 OABC这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则定理1.2.2向量的加法满足下面的运算规律：（1）交换律：（2）结合律：（3）上一页下一页返回 OA1A2A3A4An-1An这种求和的方法叫做多边形法则上一页下一页返回 向量减法上一页下一页返回 ABC上一页返回 例2试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.证与平行且相等,结论得证. §1.3数乘向量下一页返回 对于非零向量总可以作出一个和它同方向的单位向量 定理1.3.1数与向量的乘积符合下列运算规律：（1）结合律：（2）第一分配律：（3）第二分配律：上一页下一页返回 两个向量的平行关系 证充分性显然；必要性‖两式相减，得上一页下一页返回 当或除这些情况外，现分别按下面两种情况证明．中有一个为零向量时，显然成立，1)2)和平行．可以找到数使得这只需按与同向或相反，取或 和不平行．如图，是以向量为边的三角形，按相似比为可得出相似且3)由相似三角形对应边成比例的关系，可以得出而故 例1设AM是三角形ABC的中线，求证:证如图因为所以但因而即ABCM(图1.11)上一页下一页返回 例2用向量方法证明：联结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半.证设ΔABC两边AB，AC之中点分别为M，N，那么所以且上一页返回 例3化简解 例4试用向量方法证明：空间四边形相邻各边中点的连线构成平行四边形.证:只要证结论得证.EFGH §1.4向量的线性关系与向量的分解下一页返回 .,,,24.1,,,,2.4.1212121212121唯一确定被并且系数）－（的线性组合，即可以分解成或者说向量线性表示，可以用向量共面的充要条件是与不共线，那么向量如果向量定理reeyxeyexreereereeree+=.,,,,,)34.1(,,,,,,,3.4.1321321321321321唯一确定被并且其中系数的线性组合，即可以分解成向量任意向量线性表示，或说空间可以由向量任意向量不共面，那么空间如果向量定理reeezyxezeyexreeereeereee-++=.,21叫做平面上向量的基底这时ee上一页下一页返回 例5证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分.ABCDEFP1e1e2e3.,,321叫做空间向量的基底这时eee.,,,.,,,,,,,,3211321321321关系式线性表示的，，用先求取不共面的三向量就可以了三点重合下只需证两组对边中点分别为其余它的中点为线为的连的中点对边一组设四面体证eeeAPeADeACeABPPPPPPEFFECDABABCD===上一页下一页返回 连接AF，因为AP1是△AEF的中线，所以有又因为AF1是△ACD的中线，所以又有上一页下一页返回 .,,,)44.1,0,,,,,,)1(2.4.12122112121关的向量叫做线性无关性相叫做线性相关，不是线个向量那么（＝使得个数在不全为零的，如果存个向量对于定义nnnnnaaanaaanaaannLLLL-+++³llllll.0=aa线性相关的充要条件为一个向量推论.线性相关量，那么这组向量必一组向量如果含有零向推论.5.4.1相关那么这一组向量就线性分向量线性相关如果一组向量中的一部定理.,,,24.4.121组合向量是其余向量的线性充要条件是其中有一个线性相关的时，向量在定理naaanL³上一页下一页返回 .6.4.1是它们线性相关两向量共线的充要条件定理上一页下一页返回 .7.4.1件是它们线性相关三个向量共面的充要条定理.8.4.1线性相关空间任何四个向量总是定理例6设为两不共线向量，证明共线的充要条件是按照这个定理，要判别三向量只要判别是否存在不全为零的三个数使得是否共面， 证共线线性相关，即存在不全为0的实数使即又因为不共线线性无关有唯一零解上一页返回 §1.5标架与坐标 §1.5标架与坐标 §1.5标架与坐标 横轴纵轴竖轴定点空间直角坐标系1、三个坐标轴的正方向符合右手系.§1.5标架与坐标下一页返回 Ⅶ面面面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ2、坐标面与卦限上一页下一页返回 向径3、在直角坐标系下坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点M特殊点的坐标:有序数组(称为点M的坐标)原点O(0,0,0); 坐标轴:坐标面: 称为向量的坐标分解式.4、空间向量的坐标上一页下一页返回 显然，向量的坐标：向径：在三个坐标轴上的分向量：(点M关于原点O)上一页下一页返回 5、利用坐标作向量的线性运算向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式上一页下一页返回 解设为直线上的点，6、线段的定比分点坐标上一页下一页返回 由题意知：上一页下一页返回 定理1.5.4已知两个非零向量7、其它相关定理则共线的充要条件是定理1.5.6已知三个非零向量，则共面的充要条件是上一页返回 空间一点在轴上的投影(Projection)§1.6向量在轴上的射影下一页返回 空间一向量在轴上的投影上一页下一页返回为单位向量 关于向量的投影定理（1）证由此定义，上一页下一页返回 定理1的说明：投影为正；投影为负；投影为零；(4)相等向量在同一轴上投影相等；上一页下一页返回 关于向量的投影定理（2）（可推广到有限多个）上一页下一页返回 关于向量的投影定理（3）上一页下一页返回 §1.6向量在轴上的射影 解上一页返回 启示实例两向量作这样的运算,结果是一个数量.M1M2§1.7两向量的数性积下一页返回 数量积也称为“点积”、“内积”.结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.定义上一页下一页返回 关于数量积的说明：证证上一页下一页返回 数量积符合下列运算规律：（1）交换律：（2）分配律：若、为数：（3）若为数：上一页下一页返回 §1.7两向量的数性积 设数量积的坐标表达式上一页下一页返回 由勾股定理向量模的坐标表示式向量的模与空间两点间距离公式上一页下一页返回 为空间两点.空间两点间距离公式上一页下一页返回 解设P点坐标为所求点为 两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为：上一页下一页返回 解上一页下一页返回 证上一页下一页返回 空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与之间任意取值.方向角与方向余弦的坐标表示式上一页下一页返回 非零向量的方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.上一页下一页返回 由图分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向.上一页下一页返回 当时，向量方向余弦的坐标表示式上一页下一页返回 方向余弦的特征上式表明，以向量的方向余弦为坐标的向量就是与同方向的单位向量上一页返回 §1.8两向量的矢性积下一页返回 上一页下一页返回 上一页下一页返回 上一页返回 上一页下一页返回 定义设混合积的坐标表达式§1.9三向量的混合积下一页返回 （1）向量混合积的几何意义：关于混合积的说明：上一页下一页返回 解上一页下一页返回 式中正负号的选择保证结果为正.上一页返回 解例1上一页下一页返回 水桶的表面、台灯的罩子面等．曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．曲面方程的定义：曲面的实例：§2.2曲面的方程下一页返回 以下给出几例常见的曲面.解根据题意有所求方程为特殊地：球心在原点时方程为上一页下一页返回 得上、下半球面的方程分别是：由由上述方程可得球面的一般式方程为：x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0（*）上一页下一页返回 反过来，对于三元二次方程如果则可化为配方得则当时，(3)式表示一个实球面；当时，(3)式表示一个点当时，(3)式无图形．(3) 习惯上，把上面的点称为点球，把无图形时称为虚球面，三种情形统称为球面．因此有：球面的方程是一个三元二次方程，它的平方项系数相等，没有交叉项；反之，一个三元二次方程，如果它的平方项系数相等，没有交叉项，那么它表示一个球面， 解根据题意有所求方程为上一页下一页返回 根据题意有化简得所求方程解上一页下一页返回 例4方程的图形是怎样的？根据题意有图形上不封顶，下封底．解以上方法称为截痕法.上一页下一页返回 以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．上一页返回 空间曲线的参数方程一、空间曲线的参数方程§2.3空间曲线的方程下一页返回 空间曲线的一般方程曲线上的点都满足方程，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.二、空间曲线C可看作空间两曲面的交线.特点：§2.3空间曲线的方程下一页返回 例1方程组表示怎样的曲线？解表示圆柱面，表示平面，交线为椭圆.上一页下一页返回 例2方程组解上半球面,圆柱面,交线如图.表示怎样的曲线？上一页返回 动点从A点出发，经过t时间，运动到M点螺旋线的参数方程取时间t为参数，解上一页下一页返回 螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的重要性质：上升的高度与转过的角度成正比．即上升的高度螺距上一页返回几何上就是在一张长方形的纸上画一条斜线，然后把纸卷成圆柱面，该直线可形成圆柱螺旋线． 解 解 抛物柱面平面抛物柱面方程：平面方程：§2.3母线平行与坐标轴的柱面方程下一页返回 从柱面方程看柱面的特征：（其他类推）实例椭圆柱面，双曲柱面，抛物柱面，母线//轴母线//轴母线//轴上一页下一页返回 abzxyo椭圆柱面上一页下一页返回 zxy=0yo双曲柱面上一页下一页返回 zxyo抛物柱面上一页返回 如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量．法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量．已知设平面上的任一点为必有一、平面的点法式方程§3.1平面的方程下一页返回 平面的点法式方程平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形．其中法向量已知点上一页下一页返回 解取所求平面方程为化简得上一页下一页返回 取法向量化简得所求平面方程为解上一页下一页返回 由平面的点法式方程平面的一般方程法向量二、平面的一般式方程？即任一平面表示（A,B,C不同时为零）不妨设，则，为一平面.上一页下一页返回 平面一般式方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过轴；平面平行于轴；平面平行于坐标面；类似地可讨论情形.类似地可讨论情形.平面的一般方程上一页下一页返回 设平面为由平面过原点知所求平面方程为解上一页下一页返回 设平面为将三点坐标代入得解上一页下一页返回 将代入所设方程得平面的截距式方程上一页下一页返回 设平面为由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）解上一页下一页返回 化简得令代入体积式所求平面方程为或上一页返回 解§3.2平面与点的相关位置下一页返回 上一页下一页返回 点到平面距离公式上一页下一页返回 在第一个平面内任取一点，比如（0，0，1），上一页返回 定义（通常取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.§3.3两平面的相关位置下一页返回 按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面位置特征：//上一页下一页返回 例1研究以下各组里两平面的位置关系：解两平面相交，夹角上一页下一页返回 两平面平行两平面平行但不重合．两平面平行两平面重合.上一页返回 定义空间直线可看成两平面的交线．空间直线的一般方程（注：两平面不平行）一、空间直线的一般方程§3.4空间直线的方程下一页返回 方向向量的定义：如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量．//二、空间直线的对称式方程直线的对称式方程（点向式方程）上一页下一页返回 上一页下一页返回 因此,所求直线方程为例1求过点(1,0,-2)且与平面3x+4y-z+6=0平行,又与直线垂直的直线方程.解:设所求线的方向向量为已知平面的法向量已知直线的方向向量取上一页下一页返回 三、空间直线的参数式方程直线的一组方向数令方向向量的余弦称为直线的方向余弦.直线的参数方程由直线的对称式方程上一页下一页返回 例2用对称式方程及参数方程表示直线解在直线上任取一点取解得点坐标上一页下一页返回 因所求直线与两平面的法向量都垂直取对称式方程得参数方程令上一页下一页返回 解所以交点为取所求直线方程上一页返回 定义直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角．§3.5直线与平面的相关位置下一页返回 直线与平面的夹角公式直线与平面的位置关系：//上一页下一页返回 解为所求夹角．上一页下一页返回 直线与平面的交点上一页下一页返回 分析:关键是求得直线上另外一个点M1.M1在过M且平行于平面P的一个平面P1上,待求直线又与已知直线相交,交点既在P1上,又在L上,因此是L与P1的交点.例2求过点M(-1,2,-3),且平行于平面又与直线相交的直线方程.解过M作平行于平面P的一个平P1PMLP1M1上一页下一页返回 求平面P1与已知直线L的交点P1:即P1:上一页返回 定义直线直线两直线的方向向量的夹角称之为该两直线的夹角.（锐角）两直线的夹角公式§3.6空间两直线的相关位置下一页返回 两直线的位置关系：直线直线例如，上一页下一页返回 解设所求直线的方向向量为根据题意知取所求直线的方程上一页下一页返回 解先作一过点M且与已知直线垂直的平面再求已知直线与该平面的交点N,令MNL上一页下一页返回 代入平面方程得,交点取所求直线的方向向量为所求直线方程为上一页返回 LdP1是L外一点,设直线L,求P0到L的距离d.设为L上任一点，如图SS又于是点到直线的距离公式§3.7空间直线与点的相关位置下一页返回 例10求点(5,4,2)到直线的距离d.解上一页返回 水桶的表面、台灯的罩子面等．曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．曲面方程的定义：曲面的实例：§4.1柱面下一页返回 观察柱面的形成过程:定义4.1.1平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.母线准线上一页下一页返回 柱面举例：抛物柱面平面抛物柱面方程：平面方程：上一页下一页返回 从柱面方程看柱面的特征：（其他类推）实例椭圆柱面，双曲柱面，抛物柱面，母线//轴母线//轴母线//轴上一页下一页返回 1.椭圆柱面xyzO2.双曲柱面上一页返回 定义4.2.1通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做锥面.这些直线都叫做锥面的母线.那个定点叫做锥面的顶点.锥面的方程是一个三元方程.特别当顶点在坐标原点时：§4.2锥面下一页返回 n次齐次方程F(x,y,z)=0的图形是以原点为顶点的锥面；方程F(x,y,z)=0是n次齐次方程：准线顶点F(x,y,z)=0.反之，以原点为顶点的锥面的方程是n次齐次方程锥面是直纹面x0zy锥面的准线不唯一，和一切母线都相交的每一条曲线都可以作为它的母线.上一页下一页返回 请同学们自己用截痕法研究其形状.椭圆锥面上一页下一页返回 解圆锥面方程或上一页返回 定义4.3.1以一条曲线绕其一条定直线旋转一周所产生的曲面称为旋转曲面或称回旋曲面.这条定直线叫旋转曲面的旋转轴．这条曲线叫旋转曲面的母线．§4.3旋转曲面下一页返回 曲线CCyzo绕z轴上一页下一页返回 曲线CxCyzo绕z轴.上一页下一页返回 曲线C旋转一周得旋转曲面SCSMNzPyzo绕z轴.f(y1,z1)=0M(x,y,z).xS上一页下一页返回 曲线C旋转一周得旋转曲面SxCSMNzP.绕z轴..f(y1,z1)=0M(x,y,z)f(y1,z1)=0f(y1,z1)=0.yzoS上一页下一页返回 建立旋转曲面的方程：如图将代入得方程上一页下一页返回 方程上一页下一页返回 例1将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．旋转双叶双曲面yzoxyzox上一页下一页返回 xyozxyoz旋转单叶双曲面上一页下一页返回 旋转椭球面xyzxyz上一页下一页返回 旋转抛物面xyzoxyzo上一页下一页返回 几种特殊旋转曲面1双叶旋转曲面2单叶旋转曲面3旋转锥面4旋转抛物面5环面上一页下一页返回 x0y1双叶旋转双曲面绕x轴一周上一页下一页返回 x0zy.绕x轴一周1双叶旋转双曲面上一页下一页返回 x0zy.1双叶旋转双曲面.绕x轴一周上一页下一页返回 axyo2单叶旋转双曲面上题双曲线绕y轴一周上一页下一页返回 axyoz.上题双曲线绕y轴一周2单叶旋转双曲面上一页下一页返回 a.xyoz..2单叶旋转双曲面上题双曲线绕y轴一周上一页下一页返回 3旋转锥面两条相交直线绕x轴一周xyo上一页下一页返回 .两条相交直线绕x轴一周xyoz3旋转锥面上一页下一页返回 xyoz.两条相交直线绕x轴一周得旋转锥面.3旋转锥面上一页下一页返回 yoz4旋转抛物面抛物线绕z轴一周上一页下一页返回 yoxz.抛物线绕z轴一周4旋转抛物面上一页下一页返回 y.oxz生活中见过这个曲面吗？.4旋转抛物面抛物线绕z轴一周得旋转抛物面上一页下一页返回 卫星接收装置例.上一页下一页返回 5环面yxorR绕y轴旋转所成曲面上一页下一页返回 5环面z绕y轴旋转所成曲面yxo.上一页下一页返回 5环面z绕y轴旋转所成曲面环面方程.生活中见过这个曲面吗？yxo..上一页下一页返回 救生圈.5环面上一页返回 二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面．相应地平面被称为一次曲面．讨论二次曲面形状的截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．二次曲面§4.4椭球面下一页返回 截痕法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面abcyxzo椭球面上一页下一页返回 椭球面的方程椭球面与三个坐标面的交线：椭球面上一页下一页返回 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面的交线为椭圆同理与平面和的交线也是椭圆.上一页下一页返回 椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面由椭圆绕轴旋转而成．旋转椭球面与椭球面的区别：方程可写为与平面的交线为圆.上一页下一页返回 球面截面上圆的方程方程可写为上一页返回 单叶双曲面（1）用坐标面与曲面相截截得中心在原点的椭圆一、单叶双曲面§4.5双曲面下一页返回 与平面的交线为椭圆.当变动时，这种椭圆的中心都在轴上.（2）用坐标面与曲面相截截得中心在原点的双曲线.实轴与轴相合，虚轴与轴相合.上一页下一页返回 单叶双曲面图形xyoz（3）用坐标面，与曲面相截均可得双曲线.上一页下一页返回 二、双叶双曲面双叶双曲面xyoz上一页下一页返回 单叶：双叶：...yxzo在平面上，双曲线有渐进线。相仿，单叶双曲面和双叶双曲面有渐进锥面。用z=h去截它们，当|h|无限增大时，双曲面的截口椭圆与它的渐进锥面的截口椭圆任意接近，即：双曲面和锥面任意接近。渐进锥面：双曲面及其渐进锥面上一页返回 第五章二次曲线的一般理论在平面上，由二元二次方程所表示的曲线，叫做二次曲线。在这一章里，我们将讨论二次曲线的几何性质，以及二次曲线的化简，最后对二次曲线进行分类。下一页返回 为了方便起见，特引进一些记号：上一页下一页返回 上一页返回 讨论二次曲线与直线的交点，可以采用把直线方程（2）代入曲线方程（1）然后讨论关于t的方程（1）（2）§5.1二次曲线与直线的相关位置下一页返回 （3）（4）对（3）或（4）可分以下几种情况来讨论：上一页下一页返回 上一页下一页返回 上一页返回 1.二次曲线的渐近方向定义5.2.1满足条件Φ(X,Y)=0的方向X:Y叫做二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向.定义5.2.2没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的，有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物线型的，有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的.即1)椭圆型：I2>02)抛物型：I2＝03)双曲型：I2<0§5.2二次曲线的渐近方向、中心、渐近线下一页返回 2.二次曲线的中心与渐近线定义5.2.3如果点C是二次曲线的通过它的所有弦的中点(C是二次曲线的对称中心)，那么点C叫做二次曲线的中心.定理5.2.1点C(x0,y0)是二次曲线(1)的中心，其充要条件是：推论坐标原点是二次曲线的中心，其充要条件是曲线方程里不含x与y的一次项.上一页下一页返回 二次曲线(1)的的中心坐标由下方程组决定：如果I2≠0，则(5.2－2)有唯一解，即为唯一中心坐标如果I2＝0，分两种情况：上一页下一页返回 定义5.2.4有唯一中心的二次曲线叫中心二次曲线，没有中心的二次曲线叫无心二次曲线，有一条中心直线的二次曲线叫线心二次曲线，无心二次曲线和线心二次曲线统称为非中心二次曲线.定义5.2.5通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的渐近线.定理5.2.2二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点，或者整条直线在这二次曲线上成为二次曲线的组成部分.上一页返回 定义5.3.1如果直线与二次曲线相交于相互重合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线，这个重合的交点叫做切点，如果直线全部在二次曲线上，我们也称它为二次曲线的切线，直线上的每个点都可以看作切点.定义5.3.2二次曲线(1)上满足条件F1(x0,y0)=F2(x0,y0)=0的点(x0,y0)叫做二次曲线的奇异点，简称奇点；二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的正常点.§5.3二次曲线的切线下一页返回 定理5.3.1如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点，那么通过(x0,y0)的切线方程是(x-x0)F1(x0,y0)+(y-y0)F2(x0,y0)=0，(x0,y0)是它的切点.如果(x0,y0)是二次曲线(1)的奇异点，那么通过(x0,y0)的切线不确定，或者说过点(x0,y0)的每一条直线都是二次曲线(1)的切线.推论如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点，那么通过(x0,y0)的切线方程是：上一页下一页返回 例1求二次曲线x2-xy+y2+2x-4y-3=0在点(2,1)的切线方程解：因为F(2,1)=4-2+1+4-4-3=0,且F1(2,1)=5/2≠0,F2(2,1)=-2≠0所以(2,1)是二次曲线上的正常点，因此得在点(2,1)的切线方程为：5/2(x-2)-2(y-1)=0即：5x-4y-6=0上一页返回 1.二次曲线的直径定理5.4.1二次曲线的一族平行弦的中点轨迹是一条直线.定义5.4.1二次曲线的平行弦中点轨迹叫做这个二次曲线的直径，它所对应的平行弦，叫做共轭于这条直径的共轭弦；而直径也叫做共轭于平行弦方向的直径.§5.4二次曲线的直径下一页返回 推论二次曲线的一族平行弦的斜率为k，那么共轭于这族平行弦直径方程为F1(x,y)+kF2(x,y)=0定理5.4.2中心二次曲线的直径通过曲线的中心，无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向，线心二次曲线的直径只有一条，即曲线的中心直线2.共轭方向与共轭直径中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍然是非渐近方向，而在非中心二次曲线的情形是渐近方向.定义5.4.2中心曲线的一对具有相互共轭方向的直径叫做一对共轭直径.上一页返回 定义5.5.1二次曲线的垂直与其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径，主直径的方向与垂直于主直径的方向都叫做二次曲线的主方向.§5.5二次曲线的主直径和主方向下一页返回 定义5.5.2方程(5.5-2)或(5.5-3)叫做二次曲线(1)的特征方程，特征方程的根叫做二次曲线的特征根定理5.5.1二次曲线的特征根都是实数.定理5.5.2二次曲线的特征根不能全为零.定理5.5.3由二次曲线(1)的特征根λ确定的主方向X:Y，当λ≠0时，为二次曲线的非渐近主方向；当λ＝0时，为二次曲线的渐近主方向.定理5.5.4中心二次曲线至少有两条主直径，非中心二次曲线只有一条主直径.上一页返回 1.平面直角坐标变换为转轴公式，其中α为坐标轴的旋转角.§5.6二次曲线方程的化简与分类下一页返回 2.二次曲线方程的化简和分类定理5.6.1适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以化成下列三个简化方程中的一个：定理5.6.2通过适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以写成下面九种标准方程的一种形式：上一页下一页返回 上一页返回