《博弈论：原理、模型与教程》第04章 nash均衡解的特性 第02节 nash均衡的存在性

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1、《博弈论：原理、模型与教程》第一部分完全信息静态博弈第4章Nash均衡解的特性4.2Nash均衡解的存在性（已精细订正！）==============================本节推荐参考文献：（01）张石生.不动点理论及应用（M）.重庆：重庆出版社，1984年8月第1版.（注：有趣的是，该书的责任编辑尹明善，就是后来从摩配起步创业成功的力帆老总）（02）张奠宙，顾鹤荣.不动点定理（M）.沈阳：辽宁教育出版社，1989年4月第1版.（03）王则轲，左再思，李志强.经济学拓扑方法（M）.北京：北京大学出版社，2002年1月第1版.33

2、==============================将Nash均衡作为博弈的解，会面临这样的问题：Nash均衡是否存在，或者说对于所关心的博弈问题，是否一定存在一个Nash均衡？非常庆幸的是，我们能够得到一个肯定的答案。下面将对本书所涉及的博弈论中一些经典的存在性结论进行介绍。定理4-1（Nash均衡的存在性定理1，1950）每一个有限的战略式博弈至少存在一个Nash均衡（包括纯战略和混合战略Nash均衡）。定理4-1是博弈论中关于Nash均衡存在性的最基本定理。1950年，JohnNash在文章Equilibriumpoints

3、inn-persongames中首次提出Nash均衡的概念，并给出该存在性定理33。无论怎样强调该定理对于博弈论以后的发展的意义都不过分，因为Nash均衡之后的博弈论的发展（尤其是非合作博弈论的发展）基本上都是以该定理为基石的。定理4-1的条件简单，但得出的结论却十分肯定。下面给出的定理的详细证明。供有兴趣的读者参考。为证明该定理，先给出如下必要的基本概念。定义4-1从集合到集合的一个规则，若满足：,都中的一个集合与之对应，则称为由到的对应，记为：→。简单地说，对应是函数概念的扩展，函数将集合中的点映到中的点，而对应将集合中的点映到中的子

4、集。对应：→的图像是指中的集合︱。对应：→为上半连续的，是指和中任意包含的开集，在中都存在的一个邻域，只要，就有。显然对应的上半连续性为函数连续性概念的扩展，对应一个函数它的上半连续性就等于它的连续性。对应：→的图像为闭图，是指任意给定若就有。闭图将闭集的概念推广到集合的直积中。若对应的值域为紧集，则有闭图就意味着为上半连续的。有了这些基本概念，下面证明基本定理4-1.证明的基本思想是将Kakutani不动点定理应用于参与人的反应对应上。33参与人的反应对应为对手选择时，将每一个战略组合映射到的一个混合战略集。给定对手选择，给混合战略集中

5、的每个战略最大化参与人的支付。这里虽然只依赖于，而不依赖于，仍将写作的对应，因为稍后会在战略组合空间之中寻找一个不动点。定义反应对应为的Cartesian直积，即，则的不动点为满足的战略组合，因此对每个参与人，，所以的不动点即为一个Nash均衡。因此，对定理4-1的证明转化为证明参与人的反应对应具有不动点。由Kakutani不动点定理，,存在不动点的充分条件为：①为有限维欧氏空间的紧的凸子集；②非空；③为凸；④有闭图。在这里，若①成立，即为紧集，且④成立，则对应为上半连续的。下面分别证明这些条件满足：首先，因为为维数为的单纯形，所以①满足

6、。其次，因为每一个参与人的支付函数在自己的混合战略上是线性的，因此也是连续的。连续函数在紧集上取得最大值，所以非空，②满足。33再次，为了证明③，采用反证法。若非凸，则存在及，且存在，使得，但对每一个，有因此若，是相对于的最优反应，那么它们的加权平均也是。而这与非凸矛盾，所以凸。最后，仍用反证法证明④。假设④不满足，则存在序列但，所以存在,。因此存在和，使得。又因为为连续的且，因此对足够大的,有所以对于严格优于，这与矛盾。所以④满足。至此，也就完成了有限博弈中Nash均衡的存在性的证明。在经济学和现实生活中也有很多无限博弈，即参与人的战略

7、有无限多个或参与人的战略能在一个集合中连续取值，如厂商之间的价格或产量竞争。对应于这些情况有如下的存在性定理。定理4-2（Nash均衡的存在性定理2，Debru1952,Glicksberg331952,Fan1952）对于战略式博弈,若为欧氏空间的非空紧凸子集，支付函数关于战略组合连续，关于拟凹，则该博弈存在纯战略的Nash均衡。该定理的证明与Nash均衡的存在性定理4-1类似，支付函数关于所有参与人战略组合的连续性意味着反应对应具有闭图。另外，支付函数关于自己战略的拟凹性意味着反应对应为凸值的。同样运用Kakutani不动点定理便可以

8、证明该定理。注意：在上述定理中关于参与人战略组合的连续性条件是非常重要的，它类似于有限博弈中期望支付关于混合战略是连续的，因此Nash均衡的存在性定理4-1可以看作是该定理的特例。但同时在参与