第六章平面问题的直角坐标解.docx

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1、第六章平面问题的直角坐标解内容介绍知识点 平面应变问题应力表示的变形协调方程应力函数应力函数与双调和方程平面问题应力解法逆解法简支梁问题矩形梁的级数解法平面应力问题平面应力问题的近似性应力分量与应力函数应力函数与面力边界条件应力函数性质悬臂梁问题楔形体问题  部分工程构件，例如压力管道、水坝等，其结构及其承载形式力学模型可以简化为平面应变问题，典型实例就是水坝，如图所示。   这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。      这类工程问题，我们可以认

2、为柱体是无限长的。如果从中任取一个横截面，则柱形物体的形状和所受载荷将对此横截面是对称的。因此物体变形时，横截面上的各点只能在其自身平面内移动。   设纵向轴为z轴，则沿z方向的位移恒等于零，位移只能发生在Oxy面内。而且任一个横截面都是对称面，因此只要具有相同的x、y坐标，则有相同的位移。所以物体的位移为平面应力问题和平面应变问题的力学模型是完全不同的。   平面应力问题讨论的弹性体为薄板，如图所示。薄壁厚度为h远远小于结构另外两个方向的尺度。薄板的中面为平面，其所受外力，包括体力均平行于中面Oxy面内，并沿厚度方向Oz不变。而且薄板的两个

3、表面不受外力作用。   根据薄板的表面面力边界条件，即表面不受外力作用，则   由于板很薄，外力沿厚度均匀分布，因此应力分量也沿厚度均匀分布，所以应力分量不随z改变。根据边界条件可得而其余应力分量为坐标x,y的函数，即   由于应力分量均发生在薄板的中面，所以称为平面应力问题。应用上述平衡、物理、几何方程和变形协调方程，再配以一定的边界条件，例如面力边界条件，则可求解平面应变问题。   弹性力学平面问题一般采用应力解法，基本方程为平衡微分方程和变形协调方程。变形协调方程是应变分量表达的，对于应力解法，需要用基本未知量应力分量来描述变形协调方程

4、。   将物理方程代入变形协调方程，可得   在体力为常数的条件下，可以利用平衡微分方程简化上式，既对平衡微分方程的两个公式分别对x，y求偏导数后相加，可得   回代到变形协调方程，并作整理可得   以上方程是平面应变问题中的由应力表示的变形协调方程，它表达了物体内的变形协调关系，称为莱维（Lévy，M.）方程。对于平面应力和平面应变问题，若讨论的物体截面形状及侧面受力相同，则它们所需满足的基本方程和边界条件也相同，所得到的解和应力函数均相同。   因此，它们的应力分量sx，sy和txy也相同，应力分量txz和tyz均等于零，所不同的是z向应

5、力分量 sz，应变ez和位移分量w。      下表列出了两种平面问题的主要差别。平面应变问题平面应力问题z向应力分量sz=n(sx+sy)sz＝0z向位移分量w＝0w≠0正应变分量   上述分析表明，平面应力和平面应变问题的主要不同在于z向应变，位移和正应力的计算公式。如果采用应力作为基本未知量求解弹性力学平面问题，在常体力的条件下基本方程归结为在给定的边界条件下求解平衡微分方程,和应力表示的变形协调方程    对于平衡微分方程的解，可以分解为其齐次方程的通解与任一特解之和。齐次方程就是体力为零的平衡微分方程，   显然，平衡微分方程的特解

6、是容易寻找的，下列应力分量均为齐次方程的特解，或者                                        根据微分方程理论，必有函数f（x，y），令则齐次方程的第一式恒满足。同理必有函数g（x，y），如果,则齐次方程的第二式恒满足，所以    引入任意函数(x，y），使得      将上式分别回代，可得应力分量表达式   上述应力分量即为齐次平衡微分方程的通解。对于体力为零的弹性力学平面问题，只要函数是四阶连续可导的，总是满足齐次微分方程的。将平衡微分方程特解代入应力表达式，则自然满足平衡微分方程。   应力分量不仅需

7、要满足平衡微分方程，而且还需要满足变形协调方程，将上述应力分量代入变形协调方程，可得上式说明函数(x，y）应满足双调和方程。   根据应力函数计算的应力分量满足平衡微分方程，而双调和函数表达的应力函数自然满足变形协调方程。因此双调和方程就成为平面问题应力解法的基本方程。      综上所述，弹性力学平面问题的应力解法，包括平面应力和平面应变问题，归结为在给定的边界条件下求解双调和方程。   这里，函数(x，y）称为艾里（Airy）应力函数，一般简称为应力函数。在体力为常量的条件下，弹性力学平面问题应力解法由三个未知函数简化为一个应力函数，从而

8、将问题归结为在给定的边界条件下求解双调和方程。因此，应力函数的确定对于平面问题的求解是极为重要的。      本节将讨论应力函数表达的面力边界条件，并由此进一步分析