2021届新高考数学二轮复习微专题核心考点突破05用导数证明不等式问题（解析版）.docx

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1、专题05用导数证明不等式问题【考点命题趋势分析】函数综合题多出现在高考压轴题位置，具有考查数学思想方法以及代数推理能力的功能，用导数证明不等式问题是常见的考查形式.本专题设计意图，一是复习用导数证明不等式的基本方法，也就是通过构造函数，把不等式证明问题转化为利用导数研究函数的单调性或最值等问题；二是从看似平常的导数问题中发现、提炼不等式，或对常见不等式进行变换，用以解决难度更大的不等式证明问题.典型例题与解题方法1导数证明不等式的常用方法1.1不等号左右两边结构相同的不等式，可以构造函数f(x)，使原不等式化

2、为形如f(a)>f(b)的形式例1已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1(a≤－2)证明:对任意x1，x2∈(0，+∞)，.思路探求:不妨设，由于a≤－2，故f(x)在区间(0，+∞)内单调递减，所以等价于，即.设g(x)=f(x)+4x，则上式即为g(x2)≥g(x1)，问题转化为证明函数g(x)单调性的问题.1.2形如f(x)>g(x)的不等式，可以构造函数F(x)=f(x

3、)－g(x)，转化为研究函数F(x)>0的问题例2已知ሺݔlnሺሻݔሻ.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a=1时，证明ሺݔሺݔ对于任意的x∈[1，2]成立.思路探求:本问题是典型的构造函数证明不等式问题，证明方法是确定的，难点是如何研究新构造函数的性质.解:当a=1时，ሺݔሺݔln，x∈[1，2]，令g(x)=x－lnx，h(x)=.则ሺݔሺሺݔሺݔሺ

4、ݔ.由ሺݔ可得g(x)≥g(1)=1，当且仅当x=1时取等号.2又ሺሺݔ，设=－3x－2x+6，则在区间[1，2]上单调递减，因为，所以存在，使得当x∈(1，x0)时，ሺݔሺ，时)2，0x(∈x当；ݔሻ.所以函数h(x)在区间(1，x0)内单调递增；在区间(x0，2)内单调递减.1/44由于h(1)=1，ሺሺݔሺሺݔሺݔሺݔሺ以所，号等取时2=x当仅且当，ݔሺሺݔ

5、ሺሺ此因，ݔ，即ሺݔሺݔ对于任意的x∈[1，2]成立.根据待证不等式的目标指向，按形式特征把新构造的函数分为两个函数g(x)与h(x)分别研究，这是突破难点的技巧方法，也是能力考查与高考创新的体现.1.3形如的不等式，可选x1(或x2)为主元，构造函数(或).例3已知函数f(x)=lnx，设，ሻ是函数y=f(x)的图像上两点，(为f(x)的导函数)，证明:ሻሻ.

6、思路探求:，于是，.lnln以下证明ሻ①lnln①式等价于lnlnሻ.令ሺݔlnln，则ሺݔlnln，在区间(0，x2)内，，所以r(x)在区间(0，x2)内为增函数.当ሻ时，ሻ，即lnlnሻ，从而得证.同理可证ሻ.上面解析中，我们把lnln

7、ሻ中的x1看作主元构造函数r(x)，从而证明.对于多参变量函数，主元思想与整体代换是常用的解题策略.2导数证明不等式的常用技巧2.1不等式的发现与运用很多函数问题中，蕴含了一些常见的不等关系，需要我们去发现、提炼，并将其用于难度较大的不等式证明问题中.(1)ln(当且仅当x=1时取等号)；(2)lnሺݔሺݔ.很多高考试题中的导数证明不等式问题，都有这类常见不等式的背景.例4已知函数ሺݔ݃ሺ݃ݔሺݔሺnlݔ.(Ⅰ)证明:当x>0时，f(

8、x)0，使得对任意，恒有f(x)>g(x)；(Ⅲ)确定k的所有可能取值，使得存在t>0，对任意的x∈(0，t)，恒有f(x)－g(x)

9、