2021届新高考数学二轮复习微专题核心考点突破13基本不等式及其应用（解析版）.docx

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1、专题13基本不等式及其应用【考点命题趋势分析】1综述1.1高考定位高考对基本不等式内容的考查主要有:理解基本不等式在不等式证明、函数最值求解方面的重要应用.试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与函数、实际应用题综合考查，构成中高档题.通过不等式的基本知识、基本方法在三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融会贯通，从而提高学生分析问题、解决问题的能力.在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生的数学素质及创新意识.1.2应考策略掌握高考考查基本不等式的常见题型，主要有以下四个

2、方面:一是利用基本不等式求两个正数的和的最小值，或积的最大值，或者将一个式子转化为可以利用基本不等式求最值的问题；二是利用基本不等式比较两个实数(或代数式)的大小或证明不等式(放缩法)等；三是利用基本不等式构造不等式；四是将一个实际问题构造成函数模型，利用基本不等式解决.掌握利用基本不等式求最值时，要满足的三个条件，即一正，二定，三相等，而且求解时要逐一检验.1.3知识解读从知识的本质角度看.首先基本不等式是通过“x2≥0这个基本的数量不等式对x进行替换得到的；其次，反映了算术平均数与几何平均数之间的一种不等量关系；再次，基本不等式有

3、很好的几何意义，用它可以很好地解决实际生活中的一些最大值与最小值问题.因此，基本不等式的内容对学生厘清数学知识内部联系与解决实际问题很有好处.从知识的作用角度看.首先，由基本不等式可以推出许多重要的不等式，例如:当a>0，b>0时，有ab⩾21a+1b,a+1a⩾2,ba+ab⩾2等；其次，基本不等式是研究其他不等式的重要基础；再次，证明基本不等式的方法是证明不等式的基本方法之一.因此，基本不等式本身及其证明方法为学生的后续学习奠定了基础.从学生应用的角度看.学习和应用基本不等式有利于学生观察、分析、抽象、概括、归纳、总结等能力的培养

4、，有利于学生对数学知识的整合，如:几何与代数的整合，信息技术与数学的整合等.27/271.4常用变式a2+b2⩾2ab⇒两边同加a2+b2⇒2a2+b2⩾(a+b)2⇒a2+b2⩾(a+b)22⇒-2a2+b2⩽a+b⩽2a2+b2.两边同除以a，a2+b2⩾2ab⇒b2a⩾2b-a(a≠0).两边同除以b，a2+b2⩾2ab⇒a2b⩾2a-b(b≠0).两边同除以ab，a2+b2⩾2ab⇒ab+ba⩾2(ab≠0).用－a代替a，a2+b2⩾2ab⇒a2+b2⩾-2ab⇒a2+b2⩾2ab⩾-a2+b2.用a,b代替a，b，a2+b

5、2⩾2ab⇒a+b2⩾ab(a>0,b>0).1.5应用方式“应用基本不等式求最值”问题需要适当的情境，观察、分析、确定问题中的五个方面:最值的类型、运算的方式、数量的形式、数量的条件、数量的关系，之后才能规范、合理、正确地应用“基本不等式”解决相应的问题，即直接规范正确使用，间接变形合理使用，构造关系变式使用.利用基本不等式x+y2⩾xy时，要注意“正、定、等”三要素，正，即x，y都是正数；定，即不等式另一边为定值；等，即当且仅当x=y时取等号.利用基本不等式x+y2⩾xy时，要注意“积定和最大，和定积最小”这一口诀，并且适当运用拆

6、、拼、凑等技巧.特别应该注意，一般不要出现两次不等号，若出现，则要看两次等号成立的条件是否同时成立.典型例题与解题方法2问题精解2.1利用基本不等式求最值要点:应用基本不等式求和的最小值或积的最大值；构造基本不等式满足的条件求最值.2.1.1运用换元变换，简化条件关系例1求函数y=x2+4x2+3的最小值.27/27思路探求:如果利用基本不等式y=x2+4x2+3=x2+3+4x2+3-3⩾4-3=1，发现x2+3=4x2+3，即x2+3=2不成立，故不能直接运用基本不等式求解.解法1:如果解题时无法满足直接应用基本不等式求最值的条件

7、，可以通过换元，转化为相应的函数的最值.可以设t=x2+3(t≥3)，将“x2+4x2+3”的最小值问题转化为“求函数y=t+4t-3，t∈3,+∞的最小值”.而函数y=t+4t-3在t∈3,+∞内是单调递增函数，故当t=3时，函数y=t+4t-3取得最小值43.解法2:如果解题时无法满足直接应用基本不等式求最值需要的“定值”和“相等”就必须通过变形，变换出满足条件的形式结构.可以将“t+4t-3”变形为“59t+49t+4t-3⩾59⋅3+2⋅43-3=43”，当且仅当t=3时，等号成立，故y=x2+4x2+3的最小值是43.解法3

8、:如果解题时无法满足直接应用基本不等式求最值的条件，还可以运用函数的最值概念求最小值.y-43=x2+4x2+3-43=x2x2+53x2+3≥0恒成立，当且仅当x2=0时，等号成立，故y=x2+4x2+3最小值是43.