2012年苏教版高三学案 平面向量的数量积.doc

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1、平面向量的数量积昆山市教育局教研室陈纪华教学目标：掌握平面向量数量积运算的基本方法，应用“平面向量数量积”这一工具处理向量中的常见问题教学重点：平面向量数量积运算方法的合理性选择教学难点：平面向量数量积与其它知识的联系及向量的几何特征在平面向量数量积运算中的作用授课日期：教学过程：一、课前热身：1．已知向量和向量的夹角为，，则向量和向量的数量积=．（2009江苏卷）答案：．通过此题复习平面向量数量积的运算公式，也给出运算的第一种方法．2．在平面直角坐标系中，点,,，设实数满足()·=0，则=．（201

2、0江苏卷）答案：．通过此题复习平面向量数量积的坐标运算公式，注意此题运算的两种方向．方向一：()·；而，．方向二：()·两种方向都能较为迅速的得到结果，但复习时应注意引导学生使用方向一，即对向量式进行一定的化简，否则利用方向二进行纯粹的坐标运算，学生容易产生运算失误．3．已知，是夹角为的两个单位向量，，若=，则的值为．（2011江苏卷）解析：=，即．此题主要复习平面向量数量积的运算性质，规律类似于多项式乘法，要求学生熟练掌握运算性质．4．设中，，，，且，则的形状为．（必修4习题21）解析：，由，同理，

3、所以为正三角形．另解：由，由向量加法几何意义，可知，同理，所以为正三角形．相比于法一，法二体现了向量的几何意义，由图形去获得需要的信息，这是学生所缺乏的，也是本节课的一个难点．注：防止学生出现低级错误：，是由于对数量积概念不清，与乘法概念混淆所产生的．说明：1．课前热身的四道题，主要目的是帮助学生了解本节课需要复习的知识及哪些最基本的概念与方法是必须要知道的，为下面的例题作铺垫．2．选用高考题与教材中的题目，一是比较有说服力，针对性强，二是给学生以复习的信心．二、典型例题：例1：:如图，在矩形中，，点

4、是的中点，点在边上，若，则的值是．（2012江苏卷）解析：方法一：以、边所在直线分别为轴、轴，为坐标原点建立平面直角坐标系．则，，设，由，所以，则方法二：，，评注：此题是平面向量数量积运算的常见题型，即“两个向量不共起点，且夹角难以计算”．法一的处理针对此题应该是最佳方法，即“建系+坐标运算”，复习时要引导学生，图形中有垂直关系的，通过建立坐标系，用代数方法运算解决问题是非常行之有效的，应作为基本方法熟练掌握；法二处理的很巧妙，紧紧抓住“垂直”这一特征，把目标向量向垂直的基底向量分解，转化为易求向量的

5、数量积，与法一相比，此题中法二并无优势，但它体现的“利用图形先分解，再运算”的策略是平面向量数量积运算的热点方法，也是处理较为复杂的平面向量数量积运算的有效手段，在中档题中经常出现，应让学生重点掌握．变式1：在平行四边形中，，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足则的值是．（2012上海卷改编）解析：由条件可得这个变式设置的目的就是强化例1中的法2，在建系困难的情况下，先分解再运算就显得非常重要．注：此高考题的原题是：在平行四边形中，，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则

6、的取值范围是．（2012上海卷）变式2：在中，是的中点，，则．（2012浙江卷）解析：点评：两个变式都强调了向量的分解，要把陌生的向量向题设条件中熟悉的向量分解，这是方向，另外对“平行四边形”及“三角形”两个基本图形要熟悉，向量的几何运算都是由它们展开的．变式3：在面积为的中，、分别是、的中点，点在直线上，则的最小值是．解析：,记，则变式3方法与前面类型一致，但需要“不等式”、“函数”等知识综合，需要将“”视作一个“整体”，综合要求较高，可根据学生实际情况作出取舍，对数学素养一般的学生，不建议将它作为

7、复习要求．点评：第一组例题以今年高考题作为入口，强调了“向量的分解组合”在数量积运算中的作用，复习中应让学生仔细体会．例2：设，，都是单位向量，且=，求的最小值．（必修4习题20）解析：思路一：先化简，记与夹角为，则原式思路二：考虑到=，即，又，，都是单位向量，即三个向量均在单位圆上，故先作出草图，记，，，则，当点位于弧中点时，说明：点位于弧上，，的最小值即为的最大值，而点评：平面向量的问题，离不开图形，这也是“数形结合”思想最好的载体，图形可以帮助思考，图形可以简化，图形往往能起到事半功倍的效果．“

8、多用图，用好图”是平面向量数量积运算的又一重要方法．变式1：设向量，，满足，，，则的最大值等于．解析：此题若用代数方法将困难重重，构造图形解题却是一条捷径如图，构造圆的内接四边形，其中，，则，,当为圆直径时最大变式2：已知，对总有，则与的夹角是．解析：如图，记，，，则依题意，任意的故应为点到直线的距离，所以与的夹角为点评：１．变式１与变式２均以数量积为载体，着重突出了“图形”在向量解题中的简便作用，向量中的基本图形是否熟悉，是能用图形解题的关键．２．例题