北师大版(理科数学)垂直的判定与性质名师优质单元测试.docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯训练目标会应用线、面垂直的定理及性质证明直线与平面垂直、平面与平面垂直.证明线面垂直、面面垂直都必须通过证明线线垂直来完成，特殊图形中的垂解题策略直关系(如等腰三角形中线、直角三角形、矩形等)往往是解题突破点，也可利用线面垂直的性质证明线线垂直.1.如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC.(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；(2)若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2、⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2．如图(1)，已知四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，∠A＝60°，∠C＝90°，CD＝CB＝2，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A′－BCD，如图(2)．(1)当A′C＝2时，求证：A′C⊥平面BCD；(2)设BD的中点为E，当三棱锥A′－BCD的体积最大时，求点E到平面A′BC的距离．3.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AC＝AA1，E，F分别是棱BC，CC1的中点．(1)求证：AB⊥平面AA1C1C；(2)若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试

3、确定点D的位置，并说明理由；(3)求证：EF⊥A1C.2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4.如图，在斜三棱柱A1B1C1－ABC中，AB＝AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱AA1于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；(3)在(1)的条件下，如果截面MBC1⊥平面BB1C1C，那么AM＝MA1吗？请你叙述判断理由．3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯

4、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯答案精析1．(1)证明∵C是以AB为直径的圆O的圆周上一点，∴BC⊥AC.又PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥PA，又PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC.∵BC?平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC.(2)解平面PAC⊥平面ACBD；平面PAC⊥平面PBC；平面PAD⊥平面PBD；平面PAB⊥平面ACBD；平面PAD⊥平面ACBD.2．(1)证明由题意可知，A′B＝A′D＝BD＝22，A′C＝BC＝CD＝2，∴A′C2＋BC2＝A′B2，A′C2＋CD2＝A′D2，∴A′C⊥BC，A′C⊥CD.又BC

5、∩CD＝C，BC，CD?平面BCD，∴A′C⊥平面BCD.(2)解如图，当三棱锥A′－BCD的体积最大时，则平面A′BD⊥平面BCD，连接A′E，由A′E⊥BD，BD为平面A′BD与平面BCD的交线，可得A′E⊥平面BCD.过点E作EF⊥BC于点F，连接A′F，则A′F⊥BC.过点E作EM⊥A′F于点M，则EM⊥平面A′BC，∴EM即为所求的距离．在Rt△EFA′中，EF＝1，A′E＝6，∴A′F＝7，则EM＝A′E·EF＝6＝42A′F77.∴点E到平面A′BC的距离为427.3．(1)证明∵A1A⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴A1A⊥AB.又∵AB⊥A

6、C，A1A∩AC＝A，A1A，AC?平面AA1C1C，∴AB⊥平面AA1C1C.(2)解∵平面DEF∥平面ABC1，平面ABC∩平面DEF＝DE，平面ABC∩平面ABC1＝AB，∴AB∥DE.又∵在△ABC中，E是BC的中点，∴D是线段AC的中点．4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(3)证明在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A＝AC，∴侧面A1ACC1是正方形，∴A1C⊥AC1.由(1)可得AB⊥A1C.∵AB∩AC1＝A，AB，AC1?平面ABC1，∴A1C⊥平面ABC1，又BC1?平面ABC1

7、，∴A1C⊥BC1.又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，∴EF⊥A1C.4．(1)证明∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，且AD?平面ABC，∴AD⊥平面BB1C1C，又∵CC1?平面BB1C1C，∴AD⊥CC1.(2)证明如图，延长B1A1与BM的延长线交于点N，连接C1N.∵AM＝MA1，∴NA1＝A1B1.∵A1B1＝A1C1，∴A1C1＝A1B1＝A1N，∴C1N⊥C1B1.∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，底面NB1C1∩侧面BB1C1C＝B1C1，又C1

8、N?底面NB1C1，∴C1N⊥侧面BB