二次函数与一元二次方程和一元二次不等式.docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯二次函数与一元二次方程和一元二次不等式二次函数yax2bxc(a0)是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当a0时，b2b函数在x处取得最小值4acb，无最大值；当a0时，函数在x处取得2a2a4a最大值4acb2，无最小值．4a方程与函数不仅是初中数学中的重要内容，也是高中数学学习的重要内容，方程与函数之间存在着密切的联系，二次函数的图象与x轴交点的横坐标即为相应的二次方程的解，课程标准要求我们能利用二次函数的图象

2、求二次方程的近似解。本节我们将进一步研究一元二次方程与函数问题，研究当自变量x在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．【例1】已知二次函数yx22xm的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程x22xm0的解为．分析：因为二次方程x22xm0的根为二次函数yx22xm的图象与x轴交点横坐标。根据已知条件yx22xm，可知抛物线的对称轴为直线x1；根据图象可知抛物线与x轴的一个交点的横坐标为x3，所以利用抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点横坐标为―1，因此，方程x22xm0的解为3和－1。本题利用抛物线的轴对称性求抛物线与轴的交

3、点坐标，从而求出相应的一元二次方程的根。【例2】二次函数yax2bxc(a0，a，b，c是常数)中，自变量x与函数y的对应值如下表：x11135102322221⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯y2117271124444（1）判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标．（2）一元二次方程ax2bxc0(a0，a，b，c是常数)的两个根x1，x2的取值范围是下列选项中的哪一个．132②1x11，2x25①x10，x2222210，2x25④1x1132③x122，x22yax22分析：本题以表格的形式给出二次函数bx

4、c的部分对应值，解题时可以选定三对值，求出二次函数解析式，再判断开口方向，求出顶点坐标。但这样去做计算量较大，观察表格的特征发现，与x1等距离的x对应的函数值相等，所以直线x1是抛物线的对称轴，因此抛物线的顶点坐标为（1，2）；观察表格发现：当x1时，y随着x的增大而减小，当x1时，y随着x的增大而增大，所以抛物线的开口向下。（2）一元二次方程ax2bxc0(a0，a，b，c是常数)的根即为抛物线yax2bxc与x轴交点的横坐标，观察表格发现：1与0之间一定有一个x的值，使yax2bxc＝0；2与522之间一定有一个x的值，使yax2bxc＝0，所以ax2bxc0的两根x1，x2的

5、取值范围是1x10，2x252，故答案为③2【例3】已知函数yax2bxc的图象如图所示，那么关于x的方程ax2bxc20的根的情况是（）A．无实数根B．有两个相等实数根C．有两个异号实数根D．有两个同号不等实数根分析：本题以图象的形式给出信息,要判断关于x的方程ax2bxc20的根的情况，因为ax2bxc20可化为ax2bxc2，即yax2bxc2，所以，方程ax2bxc20的根即为抛物线与直线y＝－2的交点横坐标，作直线y＝－2，观察图象可知直线与抛物线的交点在第四象限，因此交点横坐标都为正，故答案为D。本题把方程的根转化为抛物线与直线的交点横坐标。2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

6、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【例4】二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：y（1）写出方程ax2bxc0的两个根．3（2）写出不等式ax2bxc0的解集．21（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．1O1234x（4）若方程ax21bxck有两个不相等的实数根，求k的取值范围．2分析：本题以图象的形式给出信息,考查了二次函数、二次方程、二次不等式这三个二次之间的关系。（1）方程ax2bxc0的根即抛物线yax2bxc(a0)与x轴交点的横坐标，观察图象得方程ax2bxc0的两根为x11，x23；（2）不

7、等式ax2bxc0的解集即抛物线yax2bxc(a0)位于x轴上方的那一段的x的范围，观察图象得不等式ax2bxc0的解集为1x3；（3）抛物线的增减性是以对称轴为界，抛物线的对称轴为x2，结合图象得对称轴右边y随x的增大而减小，所以x2；（4）方程ax2bxck的解为抛物线yax2bxc(a0)与直线yk的交点，所以当k2时，抛物线与直线有两个交点，即方程ax2bxck有两个不相等的实数根的k的取值范围是k2。【例5】当2x2时，求函数yx22x3的最大值和最小值．