最新数学竞赛题上课讲义.doc

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1、一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1．3。2．设函数由方程所确定，则曲线在点处的法线方程为。3．设函数连续，则。4．设函数f和g都可微，，，则。5．。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1．函数在闭区间[1,2]上具有二阶导数，，，则在开区间(1,2)内(B)（A）没有零点；（B）至少有一个零点；（C）恰有两个零点；（D）有且仅有一个零点。2．设函数与在开区间(a,b)内可导，考虑如下的两个命题，⑴若，则；⑵若，则。则（A）（

2、A）两个命题均不正确；（B）两个命题均正确；（C）命题⑴正确，命题⑵不正确；（D）命题⑴不正确，命题⑵正确。3．设常数，在开区间内，恒有，记，则（C）(A)I<0；(B)I=0；(C)I>0；(D)I非零，且其符号不确定。4．，则在x=a处（D）（A）导数存在，且；（B）导数不存在；（C）取得极小值；（D）取得极大值。5．累次积分可以写成（D）（A）；（B）；（C）；（D）。三、求由参数方程所确定的函数的二阶导。（本题6分）解：，。四、设在上可导，，其反函数为，若，求：。（本题6分）解：命，则，于是。将等式两边同时对x求导，同时注意到，于是有，当时，有。对上式两端积分，得到由在x=0处连续

3、，可知；又，解得C=0，于是。五、计算。（本题6分）解：方法一方法二六、设闭区域D：。为D上的连续函数，且，求：。（本题7分）解：设，于是有，等式两边计算区域D上的二重积分，得，即，于是，所以。故。七、求函数在区域D：上的最大值与最小值。（本题7分）解：方法一先求函数在区域D内的驻点：，驻点为。由于，所以为函数的最小值。再求函数在区域D的边界上的驻点：命，则由⑴、⑵得x=y，代入⑶得到或。计算，所以后者为函数在区域D的边界上的最大值，同时也是在区域D上的最大值。方法二由于区域D为，所以其边界曲线的参数方程为。故求函数在边界曲线上的驻点时，可化为求的驻点。，命，得驻点。计算，于是可知，当，即

4、时，函数在区域D的边界上取得最大值，同时也是在区域D上的最大值。（省略处同方法一）八、设函数在点(1,1)处可微，且，求。（本题7分）解：，九、证明。（本题8分）证明：方法一（利用积分估值定理）命，对上式右端的第二个积分，取变换，则，于是注意到：被积函数的两个因子在区间上异号（，），由积分估值定理得知必有I≤0，即知原不等式成立。方法二（利用积分中值定理）命，由积分中值定理，并在区间上取变换，同时注意到：，得十、设正值函数在闭区间[a,b]上连续，，证明：。（本题8分）证明：化为二重积分证明。记，则原式十一、设函数在闭区间[a,b]上具有连续的二阶导数，证明：存在ξ∈(a,b)，使得。（本

5、题7分）证明：将函数在点处作泰勒展开，并分别取x=a和b，得到；。两式相加得到。由于连续，由介值定理知，存在使得，从而得，即。十二、设函数在闭区间[-2,2]上具有二阶导数，，且，证明：存在一点ξ∈(-2,2)，使得。（本题8分）证明：在区间[-2,0]和[0,2]上分别对函数应用拉格朗日中值定理；。注意到：，因此，。命：，则在区间[-2,2]上可导，且；；。故在闭区间上的最大值，且。由弗马定理知。而，故。由于，所以，从而。