(全国通用)2016版高考数学大二轮总复习 增分策略 专题四 数列 推理与证明 第3讲 数列的综合问题课件.ppt

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1、第3讲数列的综合问题专题四　数列、推理与证明高考真题体验热点分类突破高考押题精练栏目索引高考真题体验121.(2015·湖南)已知a＞0，函数f(x)＝eaxsinx(x∈[0，＋∞)).记xn为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点，证明：数列{f(xn)}是等比数列.证明f′(x)＝aeaxsinx＋eaxcosx12令f′(x)＝0，由x≥0得x＋φ＝mπ，即x＝mπ－φ，m∈N*，对k∈N，若2kπ＜x＋φ＜(2k＋1)π，即2kπ－φ＜x＜(2k＋1)π－φ，则f′(x)＞0；若(2k＋1)π＜x＋φ＜(2k＋2)π，即(2k＋1)π－φ＜

2、x＜(2k＋2)π－φ，则f′(x)＜0.因此，在区间((m－1)π，mπ－φ)与(mπ－φ，mπ)上，f′(x)的符号总相反.12于是当x＝mπ－φ(m∈N*)时，f(x)取得极值，所以xn＝nπ－φ(n∈N*).此时，f(xn)＝ea(nπ－φ)sin(nπ－φ)＝(－1)n＋1ea(nπ－φ)sinφ.故数列{f(xn)}是首项为f(x1)＝ea(π－φ)·sinφ，公比为－eaπ的等比数列.122.(2014·课标全国Ⅱ)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.12因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，考情考向分析1.数列的综合问题，

3、往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围.3.将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用.热点一　利用Sn，an的关系式求an热点分类突破1.数列{an}中，an与Sn的关系：2.求数列通项的常用方法(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式.(2)在已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列).又S1＝a1＝1，思维升华给出Sn与an

4、的递推关系，求an，常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.解得a1＝2或a1＝0(舍去).因为an>0，所以an＋an－1≠0，则an－an－1＝2，所以数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，故an＝2n.答案an＝2n热点二　数列与函数、不等式的综合问题数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进

5、行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题.例2已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上.(1)求数列{an}的通项公式；解设二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.由于f′(x)＝6x－2，得a＝3，b＝－2，所以f(x)＝3x2－2x.又因为点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上，所以Sn＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－

6、2n－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5；当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以an＝6n－5(n∈N*).所以满足要求的最小正整数为10.思维升华解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点：(1)数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件；(3)不等关系证明中进行适当的放缩.跟踪演练2(2015·安徽)设n∈N*，xn是曲线y＝x2n＋2＋1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.(1)求数列{xn}的通项公式；解y′＝(x2n＋2＋1)

7、′＝(2n＋2)x2n＋1，曲线y＝x2n＋2＋1在点(1,2)处的切线斜率为2n＋2，从而切线方程为y－2＝(2n＋2)(x－1).证明由题设和(1)中的计算结果知热点三　数列的实际应用用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型——数列模型，弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型，它的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题.求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果.例3自从祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区

8、设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个